Question

6．已知：如图，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD，sin∠ABD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．点P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC．
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS证明△ABE≌△CBE，即可得出结论．
（2）联结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EF⊥BC于F，由菱形的性质得出AC⊥BD．由三角函数求出AO=OC=$\sqrt{5}$，BO=OD=$2\sqrt{5}$．由菱形面积得出AH=4，BH=3．由相似三角形的性质得出$\frac{AE}{EP}=\frac{AD}{BP}$，求出EF的长，即可得出答案；∴$\frac{AE+EP}{EP}=\frac{AD+BP}{BP}$，
（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．分情况讨论：
①当∠ECP=90°时，②当∠CEP=90°时，由全等三角形的性质和相似三角形的性质即可得出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE
∴AE=CE．
（2）连接AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，如图1所示：
垂足分别为点H、F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵AB=5，$sin∠ABD=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴AO=OC=$\sqrt{5}$，BO=OD=$2\sqrt{5}$．
∵$\frac{1}{2}AC•BD=BC•AH$，
∴AH=4，BH=3．
∵AD∥BC，
∴$\frac{AE}{EP}=\frac{AD}{BP}$，
∴$\frac{AE+EP}{EP}=\frac{AD+BP}{BP}$，
∴$\frac{AP}{EP}=\frac{5+x}{x}$，
∴$\frac{EP}{AP}=\frac{x}{5+x}$．
∵EF∥AH，
∴$\frac{EF}{AH}=\frac{PE}{AP}$，
∴$EF=\frac{4x}{5+x}$．
∴$y=\frac{1}{2}PC•EF=\frac{1}{2}（{5-x}）\frac{4x}{5+x}=\frac{{10x-2{x^2}}}{5+x}（{0＜x＜5}）$．
（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．如图2所示：
①当∠ECP=90°时
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∵$cos∠ABP=\frac{AB}{BP}=\frac{BH}{AB}$，
∴$\frac{5}{BP}=\frac{3}{5}$，∴BP=$\frac{25}{3}$．
②当∠CEP=90°时，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB=45°，
∴$AO=OE=\sqrt{5}$，
∴$ED=\sqrt{5}$，$BE=3\sqrt{5}$．
∵AD∥BP，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{DE}{BE}$，
∴$\frac{5}{BP}=\frac{{\sqrt{5}}}{{3\sqrt{5}}}$，
∴BP=15．
综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为$\frac{25}{3}$或15．

点评 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．