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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CDABH,点G是⊙O上一点,AGCD于点K,延长KD至点E,使KE=GE,分别延长EG、AB相交于点F.

(1)求证:EF是⊙O的切线;

(2)若ACEF,试探究KG、KD、GE之间的关系,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=2,求FG的长.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】

(1)连接OG,首先证明∠EGK=∠EKG,再证明∠HAK+∠KGE=90°,进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF,进而证明EF是⊙O的切线;
(2)连接GD,由平行线的性质得到相等的角进而根据相似三角形的判定得到△GKD∽△EKG,然后根据相似三角形的对应边成比例可得证;

(3)连接OG,OC,根据平行线的性质得到∠E=∠ACH,然后根据已知的sinE=设出AH=3t,AC=5t,CH=4t,然后根据勾股定理求出CH、AH的长设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3由勾股定理得:OH2+CH2=OC2求出r的值,再由OG的长和tan∠OFG=tan∠CAH,利用三角函数在Rt△OGF中计算出FG的长.

证明:(1)如图1,连接OG.

∵KE=EG,

∴∠EKG=∠EGK,

∵∠AKH=∠EKG,

∴∠EGK=∠AKH,

∴OA=OG,

∴∠OGA=∠OAK,

∵AB⊥CD,

∴∠AHK=90°,

∴∠AKH+∠OAG=90°,

∴∠OGA+∠EGK=90°,

∴∠OGE=90°,

∴EF⊙O的切线;

(2)KG2=KDGE,理由是:

连接GD,如图2,

∵AC∥EF,

∴∠C=∠E,

∵∠C=∠AGD,

∴∠E=∠AGD,

∵∠GKD=∠GKD,

∴△GKD∽△EKG,

∴KG2=KDEK,

由(1)得:EK=GE,

∴KG2=KDGE;

(3)连接OG,OC,如图3所示,

∵AC∥EF,

∴∠E=∠ACH,

∵sinE=sin∠ACH=

AH=3t,则AC=5t,CH=4t,

∵KE=GE,AC∥EF,

∴CK=AC=5t,

∴HK=CK﹣CH=t.

Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2

即(3t)2+t2=(22,解得t=±

∴CH=4,AH=3

⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3

由勾股定理得:OH2+CH2=OC2

即(r﹣32+(42=r2解得r=

∵EF为切线,

∴△OGF为直角三角形,

Rt△OGF中,OG=,tan∠OFG=tan∠CAH===

∴FG==

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