Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B、C两点．已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．
（1）求B点坐标；
（2）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得到OB的长，从而可得B点坐标；
（2）把B点和C点坐标代入y=kx+n得到k、n的方程组，然后解方程可确定直线BC的解析式；对于抛物线，可设交点式y=a（x-1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可．

解答 解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
在Rt△COB中，∵OC=3，BC=5，∠BOC=90°，
∴OB=$\sqrt{{5^2}-{3^2}}=4$，
∴点B的坐标是（4，0）；
（2）∵直线y=kx+n（k≠0）经过B（4，0）、C（0，3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，即得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$
∴直线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-4），
把C（0，3）代入得a•（-1）•（-4）=3，解得a=$\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{3}{4}$（x-1）（x-4），即y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系数法求函数解析式．