Question

3．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．
①在射线BM上作一点C，使AC=AB；
②作∠ABM的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．
（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC=∠4，∠2=∠3，然后再证明∠1=∠3，根据等角对等边可得BD=DE．

解答 解：（1）如图所示：

（2）BD=DE，
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠4．
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠4．
∵CE=CD，
∴∠2=∠3．
∵∠4=∠2+∠3，
∴∠3=$\frac{1}{2}$∠4．
∴∠1=∠3．
∴BD=DE．

点评 此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．