Question

16．如图，圆柱体内挖去一个与它不等高的圆锥，锥顶O到AD的距离为1，∠OCD=30°，OC=4，则挖去圆锥后的表面积是（16+8$\sqrt{3}$）π．

Answer 1

分析 首先过点O作OE⊥CD于点E，利用锐角三角函数关系求出EO，EC的长度，进而得出圆锥侧面积，圆柱底面圆的面积，圆柱侧面积，即可得出挖去后该物体的表面积．

解答 解：过点O作OE⊥CD于点E，
∵∠OCD=30°，OC=4，
∴sin30°=$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OE}{4}$，
解得：EO=2，
cos30°=$\frac{EC}{CO}$=$\frac{EC}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：EC=2$\sqrt{3}$，
故由题意可得出：圆锥底面半径为2，DC=1+EC=1+2$\sqrt{3}$，
则圆锥侧面积为：S=π×底面圆的半径×母线=π×2×4=8π，圆柱底面圆的面积为：π×2 ²=4π，
圆柱侧面积为：底面圆的周长×圆柱的高=2×π×2×（1+2$\sqrt{3}$）=4π+8$\sqrt{3}$π，
故该物体的表面积=圆锥侧面积+圆柱底面圆的面积+圆柱侧面积=8π+4π+4π+8$\sqrt{3}$π=（16+8$\sqrt{3}$）π．
故答案为：（16+8$\sqrt{3}$）π．

点评 此题主要考查了圆锥的有关计算以及圆柱侧面积求法和锐角三角函数的应用等知识，根据图象得出该物体的表面积=圆锥侧面积+圆柱底面圆的面积+圆柱侧面积是解题关键．