Question

3．探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；
 小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
      即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
      即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是小明的证法．
应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为100°；
在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为40°；
拓展：
在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可．

解答 解：如图1，过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C，
故两人的证明过程中，完全正确的是小明的证法；
如图2，过点P作PE∥AB，
∴∠APE+∠A=180°，∠A=120°，∴∠APE=60°，
∵PE∥AB，AB∥CD．
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPE+∠C=180°，∠C=140°，∴∠CPE=40°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE
=100°；
如图3，过点P作PF∥AB，
∴∠APF=∠A，
∵PF∥AB，AB∥CD．
∴PF∥CD，
∴∠CPF=∠C
∴∠CPF-∠APF=∠C-∠A
即∠APC=∠C-∠A=40°；
如图4，过点P作PG∥AB，
∴∠APG+∠A=180°，∴∠APG=180°-∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG+∠C=180°，∴∠CPG=180°-∠C
∴∠APC=∠CPG-∠APG=∠A-∠C．

点评 本题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行同旁内角互补是解题的关键．