Question

【题目】已知：是的直径，的延长线上有一点，是的切线，切点为，过点作，垂足为，连接．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，是上的点，连接、，若，

求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，连接和相交于点，延长到点，连接、，若，，，，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）连接，由是的切线，可知，，然后通过直角三角形锐角互余和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍即可得到答案；

（2）连接，过点作，垂足为，可知，，设，，得到，然后通过角度关系得到，从而可证，通过对应边相等即可得到结论；

（3）设，通过条件推导出，延长到点，使，连接，通过和角度关系可得到，设，则，利用勾股定理求出，最后证出为等腰直角三角形，即得到．

（1）证明：如图1，连接，

∵是的切线，

∴，

∴

∵，

∴

∵，

∴

∵和是弧所对的圆心角和圆周角

∴

∴

（2）证明：如图2，连接，过点作，垂足为，

∴，

∵是的直径，

∴

设，

∵

∴，即

∵，

∴

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∴

（3）解：如图3，设，

∵，

∴

∵，

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∵，

∴

延长到点，使，连接，

∵，

∴

∴，

∵

∴

∴，

∴

设，则

在中，

在中，

∴

∴

在中，

连接，∵，

∴，

∴，

∴

∴为等腰直角三角形

∴