【题目】如果一个三角形的两个内角α,β满足α+2β=90°,那么我们称这样的三角形为“非常三角形”.
(1)若△ABC是“非常三角形”,∠C>90°,∠A=50°,则∠B= .
(2)如图,△ABC中,AB=AC,D是边BC上一点,以BD为直径的⊙O经过点A,连结AD.
①求证:△ADC为“非常三角形”.
②若sinB=,AB=8,弦AB上是否存在一点P,使得△BDP是“非常三角形”,若存在,请求出线段AP的长度;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①证明见解析;②或3.
【解析】
(1)先根据三角形的内角和定理可得,再根据“非常三角形”的定义即可得;
(2)①先根据圆周角定理可得,从而可得,再根据等腰三角形的性质可得,然后根据三角形的外角性质、等量代换即可得证;
②先解直角三角形求出,再根据三角形的外角性质求出,据此分如图1和如图2(见解析)两种情况,然后分别利用相似三角形的判定与性质求解即可得.
(1)
则由“非常三角形”的定义得:,即
解得
故答案为:;
(2)①∵BD是直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴是“非常三角形”;
②在中,,
设,则
由勾股定理得:,解得
∴
因为
所以根据“非常三角形”的定义,分以下两种情况:
情况1:如图1,若,是“非常三角形”
∵
∴
过点P作
由角平分线的性质得:
在和中,
,即
解得
情况2:如图2,若,是“非常三角形”
∵
∴
在和中,
,即
解得
综上,线段AP的长度为或3.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点,且此抛物线的顶点坐标为.
求此抛物线的解析式;
设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点,当与面积相等时,求点D的坐标;
点P在线段AM上,当PC与y轴垂直时,过点P作x轴的垂线,垂足为E,将沿直线CE翻折,使点P的对应点与P、E、C处在同一平面内,请求出点坐标,并判断点是否在该抛物线上.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,,,点在轴的正半轴上,点是轴正半轴上一动点,连接,以为边长,在的右侧作等边.设点的横坐标为,点的纵坐标为,则与的函数关系式是________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点,,交轴于点,且抛物线的对称轴经过点,过点的直线交抛物线于另一点,点是该抛物线上一点,连接,,,.
(1)求直线及抛物线的函数表达式;
(2)试问:轴上是否存在某一点,使得以点,,为顶点的与相似?若相似,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点是直线上方的抛物线上一动点(不与点,重合),过作交直线于点,以为直径作,则在直线上所截得的线段长度的最大值等于_______.(直接写出答案)
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【题目】矩形中,,,沿对角线将矩形分成两个直角三角形,如图1,其中不动,沿射线的方向以每秒的速度平移,如图2.
(1)在平移过程中,当满足什么条件时,四边形是菱形?说明理由;
(2)当四边形是菱形时,平移了多少秒?
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【题目】已知:是的直径,的延长线上有一点,是的切线,切点为,过点作,垂足为,连接.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,是上的点,连接、,若,
求证:;
(3)如图3,在(2)的条件下,点在上,点在上,连接和相交于点,延长到点,连接、,若,,,,,求线段的长.
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【题目】如图1,二次函数yx2x+3的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C点,连结AC,过点C作CD⊥AC交AB于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)如图2,已知点E是该二次函数图象的顶点,在线段AO上取一点F,过点F作FH⊥CD,交该二次函数的图象于点H(点H在点E的右侧),当五边形FCEHB的面积最大时,求点H的横坐标;
(3)如图3,在直线BC上取一点M(不与点B重合),在直线CD的右上方是否存在这样的点N,使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B坐标为(3,0),对称轴为直线x=1.下列结论正确的是( )
A.abc<0B.b2<4ac
C.a+b+c>0D.当y<0时,﹣1<x<3
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