【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点,,交轴于点,且抛物线的对称轴经过点,过点的直线交抛物线于另一点,点是该抛物线上一点,连接,,,.
(1)求直线及抛物线的函数表达式;
(2)试问:轴上是否存在某一点,使得以点,,为顶点的与相似?若相似,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点是直线上方的抛物线上一动点(不与点,重合),过作交直线于点,以为直径作,则在直线上所截得的线段长度的最大值等于_______.(直接写出答案)
【答案】(1) ;(2)相似,或;(3)
【解析】
(1)由二次函数的对称性及B点坐标先求出点A的坐标,代入中求出AD的解析式即可,再将A、B点坐标代入二次函数解析式中,结合对称轴联立方程组求出二次函数解析式.
(2)先计算出 ,此时AD∥BE,再分情况讨论P点在B点左侧和P点在B点右侧时的情形.
(3) 设在直线上所截得的线段为NK,过K点作KI⊥x轴于I点,NJ⊥x轴于J点,PK⊥NJ于P点,设M点的坐标为(),将N,K坐标分别用m的代数式表示,最后利用即可求解.
(1)由题可知,对称轴:,点
则点
得
直线
由题可得
解得,,
抛物线的函数关系式
(2)点在抛物线上
即
易求得直线
由题可得:
直线交抛物线于点,
可知,
则:
,,,
,,
设
①若点在点左侧时
(i)当时
则
即:
即:点
(ii)当时
则
即:
即:点
②若点在点右侧时
,
又
此时,与不相似
(3)在直线上所截得的线段长度的最大值等于,如下图所示:
设在直线上所截得的线段为NK,过K点作KI⊥x轴于I点,NJ⊥x轴于J点,PK⊥NJ于P点,
设M点坐标为()
∵BE⊥MN,∴,且
∴
∴直线MN的解析式为:,与直线BC联立方程组:
解得N点坐标为
∵MN是圆O的直径,∴∠MKN=90°
∴MK⊥BC,即,且
∴直线MK的解析式为:,与直线BC联立方程组:
解得K点坐标为
由图像可知,
∴
∴当时,最大值等于.
故答案为:.
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【题目】如图,在□ABCD中,AC、BD相交于点O,点E、F在BD上,且BE=DF.连
接AE、CF.
(1)求证△AOE≌△COF;
(2)若AC⊥EF,连接AF、CE,判断四边形AECF的形状,并说明理由.
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【题目】如图,三张“黑桃”扑克牌,背面完全相同将三张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上甲,乙两人进行摸牌游戏,甲先从中随机抽取一张,记下数字再放回洗匀,乙再从中随机抽取一张.
(1)甲抽到“黑桃”,这一事件是 事件(填“不可能“,“随机“,“必然”);
(2)利用树状图或列表的方法,求甲乙两人抽到同一张扑克牌的概率.
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【题目】某商场销售A、B两种新型小家电,A型每台进价40元,售价50元,B型每台进价32元,售价40元,4月份售出A型40台,且销售这两种小家电共获利不少于800元.
(1)求4月份售出B型小家电至少多少台?
(2)经市场调查,5月份A型售价每降低1元,销量将增加10台;B型售价每降低1元,销量将在4月份最低销量的基础上增加15台.为尽可能让消费者获得实惠,商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格,且希望销售这两种小家电共获利965元,则这两种小家电都应降低多少元?
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【题目】在某次防灾抗灾过程中,为了保障某市的抗灾物资供应,现有一批救灾物资由,两种型号的货车运输至该市.已知辆型货车和辆型货车共可满载救灾物资吨,辆型货车和辆型货车共可满载救灾物资吨.
(1)求辆型货车和辆型货车分别能满载多少吨;
(2)已知这批救灾物资共吨,计划同时调用,两种型号的货车共辆,并要求一次性将全部物资运送到该市,试求调用,两种型号的货车的方案.
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【题目】如果一个三角形的两个内角α,β满足α+2β=90°,那么我们称这样的三角形为“非常三角形”.
(1)若△ABC是“非常三角形”,∠C>90°,∠A=50°,则∠B= .
(2)如图,△ABC中,AB=AC,D是边BC上一点,以BD为直径的⊙O经过点A,连结AD.
①求证:△ADC为“非常三角形”.
②若sinB=,AB=8,弦AB上是否存在一点P,使得△BDP是“非常三角形”,若存在,请求出线段AP的长度;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知小明家、体育场、超市在一条笔直的公路旁(小明家、体育场、超市到公路的距离忽略不计),图中的信息反映的过程是小明从家跑步去体育场,在体育场锻炼了一阵后又走到超市买些学习用品,然后再走回家.图中表示小明所用的时间,表示小明离家的距离.根据图中的信息,下列说法中错误的是( ).
A.体育场离小明家的距离是
B.小明在体育场锻炼的时间是
C.小明从体育场出发到超市的平均速度是
D.小明从超市回家的平均速度是
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是AB的中点,连结DE.
(1)求证:△ABD是等腰三角形;
(2)求∠BDE的度数.
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【题目】今年受新冠病毒疫情的影响,王大伯家的两种水果“沃柑”和“夏橙”存在销售困难,这一情况被住村干部得知后,决定帮助王大伯提供线上(网上销售)和线下(批发给店铺)两种形式销售.通过一个星期的销售,其中通过线上销售1600斤,且通过线上销售的斤数比线下销售的斤数多60%.
(1)求王大伯的一星期线上线下销售“沃柑”和“夏橙”一共多少斤?
(2)如果销售的这些水果中“沃柑”比“夏橙”的2倍少700斤,而通过线上销售的“夏橙”的斤数不小于线下销售“夏橙”的2倍,则通过线下销售的“沃柑”至少多少斤?
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