Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，过点D作BA的平行线交AC于点O，过点A作BC的平行线交DO的延长线于点E，连接CE．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）作出△ABC外接圆，不写作法，请指出圆心与半径；
（3）若AO：BD= ：2，求证：点E在△ABC的外接圆上．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，

∴AD= BC=CD，

∴四边形ADCE是菱形

（2）解：如图所示：圆心为点D，AD、BD、CD都为半径

（3）证明：∵四边形ADCE是菱形，

∴AC⊥DE，OD=OE，

∴∠AOD=90°，

∵AO：BD=3：2，

∴AO：AD=3：2，

即sin∠ADO=3：2，

∴∠ADO=60°，

∴∠OAD=30°，

∴AD=2OD，

∴DE=DA，

∴点E在△ABC的外接圆上

【解析】（1）先证ABDE是平行四边形，得到AE=BD=CD，又AE∥BC，得出四边形ADCE是平行四边形，再利用斜边性质得AD=CD,证出菱形；（3）要证点E在△ABC的外接圆上，须证DE=DA，可转化DE=AB,利用AO：BD= ：2,可得sin∠ADO=：2，所以∠ADO=60°，∠OAD=30°，AD=2OD，进而DE=DA.
【考点精析】关于本题考查的三角形的外接圆与外心和切线的性质定理，需要了解过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．