Question

【题目】如图，线段AB=10,射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且C、D与点B在AP两侧，在线段DP取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）.

（1）求证：△AEP△CEP；

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

（3）求△AEF的周长

Answer 1

【答案】（1）△AEP≌△CEP；（2）垂直 ； 理由见详解； （3）20 .

【解析】

（1）四边形APCD正方形，则DP平分∠APC，PC=PA，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；（2）△AEP≌△CEP，则∠EAP=∠ECP，而∠EAP=∠BAP，则∠FCP+∠CMP=90°，则∠AMF+∠PAB=90°。（3）证明△PCN≌△APB（AAS），则CN=PB=BF，PN=AB，即可求解。

证明：（1）∵四边形APCD正方形，

∴DP平分∠APC, PC＝PA,

∴∠APD＝∠CPD＝45°，

在△AEP和△CEP

PC＝PA

∠APD＝∠CPD

PE=PE

∴△AEP≌△CEP(SAS).

(2) CF⊥AB．

理由如下： ∵△AEP≌△CEP,

∴∠EAP＝∠ECP，

∵∠EAP=∠BAP．

∴∠BAP＝∠FCP，

∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，

∴∠AMF+∠PAB＝90°，

∴∠AFM＝90°，

∴CF⊥AB．

(3)过点 C 作CN⊥PB．可证得△PCN≌△APB,

∴ CN＝PB＝BF, PN＝AB,

∵△AEP≌△CEP, ∴AE＝CE,

∴AE+EF+AF

＝CE+EF+AF

＝BN+AF

＝PN+PB+AF

＝AB+CN+AF

＝AB+BF+AF

＝2 AB

＝20.