Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D．

（1）求平行线AD、BC之间的距离；

（2）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点M的坐标及点Q经过的最短路径的长；

（3）如图2，将抛物线以每秒个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A′、C′，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，将等腰△A′C′B绕点D逆时针旋转一周，记旋转中的△A′C′B为△A″C″B′，若直线A″C″与y轴交于点K，直线A″C″与直线AD交于点I，当△DKI是以KI为底边的等腰三角形时，求出DK2的值．

Answer 1

【答案】（1）AD与BC之间的距离为；（2）点Q经过的最短路径的长为+；（3）.

【解析】试题分析：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，先求得点A、B、C的坐标，即可得OA、OB、OC的长，根据勾股定理求得BC的长，利用S△ABC=ABCO=BCAH，即可求得AH的长，从而求得平行线AD、BC之间的距离；（2）如图2中，设P（m，﹣m2+m+3），由S△PBC=S△POB+S△PCO﹣S△BOC可得S△PBC与m之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得点P的坐标，作B关于直线AD的对称点B′交AD于K，连接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，连接BN，则PM+MN+BN的值最小．求得PM+MN+BN的值即可；（3）如图3中，作DG⊥A′C′于G，AH⊥BC于H，A′K⊥BC于K．分两种情况求DK2的值即可.

试题解析：

（1）如图1中，作AH⊥BC于H．

对于抛物线y=﹣x2+x+3，令y=0，得到﹣x2+x+3=0，解得x=﹣或3，

∴A（﹣，0），B（3，0），

令x=0，得到y=3，

∴C（0，3），

∴OA=，OB=3，AB=4，OC=3，BC==3，

∵S△ABC=ABCO=BCAH，

∴AH==，

∵AD∥BC，

∴AD与BC之间的距离为．

（2）如图2中，设P（m，﹣m2+m+3），

S△PBC=S△POB+S△PCO﹣S△BOC

=×3×（﹣m2+m+3）+×3×m﹣×3×3

=﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴m=时，△PBC的面积最大，此时P（，），

作B关于直线AD的对称点B′交AD于K，连接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，连接BN，则PM+MN+BN的值最小．

∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，AD∥BC，

∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1，

∵BB′⊥BC，

∴直线BB′的解析式为y=x﹣6，

由，解得，

∴K（，﹣），

∴直线PK的解析式为y=﹣x+，

由，解得，

∴M（，），

∴点Q经过的最短路径的长=PM+MN+BN=MN+（PM+MK）=MN+PK，

∵MN=，PK==，

∴点Q经过的最短路径的长为+．

（3）如图3中，作DG⊥A′C′于G，AH⊥BC于H，A′K⊥BC于K．

∵A′B=A′C′，AC=A′C′，AA′∥BC，

∴四边形AA′BC是等腰梯形，易知△ACH≌△A′BK，

∴CH=BK=KC′，

由（1）可知，CH===，

∴BC′=，

∴CC′=，易知C′（，），A′（，﹣），

∴直线A′C′的解析式为y=x﹣，

∵DG⊥A′C′，

∴直线DG的解析式为y=﹣x﹣1，

由，解得，

∴G（，﹣），

∴DG=，

如图4中，将等腰△A′C′B绕点D逆时针旋转一周的过程中，△DKI是以KI为底边的等腰三角形用图中四种情形，根据对称性可知，DK2的值有两种情形．

作DG′⊥KL于G′，则DG′=DG=，作CQ平分∠OCB，

∵OC：CB=OQ：QB，BC===3，

∴OQ：QB=3：3=1：，

∴OQ=×3=，

在Rt△COQ中，CQ==，

∵DK=DL，DG′⊥KL，

∴∠G′DK=G′DL，

∵BC∥AD，

∴∠G′DK=∠OCQ，∵∠COQ=∠DG′K=90°，

∴△DG′K∽△COQ，

∴=，

∴DK2===，

同法当△DK′L′是等腰三角形时，作DG″⊥K′L′，易证△DK′G″∽△QCO，

∴=，

∴DK′2===．