Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）．

（1）求点D的坐标；

（2）记正方形DEFG的面积为S，

① 求S关于n的函数关系式；

② 当DF∥x轴时，求S的值；

（3）是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点D的坐标为（-3，4）；（2）①S=（n-4）2+9；②S=（7-4）2+9=18；当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．

【解析】试题分析：（1）由于点D（m，4）在直线AC上，代入直线AC的解析式可得关于m的方程，解方程即可得到点D的坐标为（﹣3，4）；

（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|，根据正方形的面积公式和勾股定理可得S关于n的函数关系式；

②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，可得n=7，再代入函数关系式即可得到S的值；

（3）根据待定系数法可得BC为： ；再分四种情况：①当点F落在BC边上时；②当点G落在BC边上时；③当点F落在AB边上时；④当点G落在AC边上时；进行讨论可得所有满足条件的n的值．

试题解析：解：（1）∵点D（m，4）在直线AC上；

∴4=m+8，解得m=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，4）；

（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|

∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；

②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，∴EH=DH=3，∴n=4+3=7，∴S=（7﹣4）2+9=18；

（3）∵OB=2OC=16，∴B为（16，0），∴BC为： ；

①当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N．在△DEM与△EFN中， ，∴△DEM≌△EFN（AAS），∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3

∴F为（n﹣4，n﹣3）

∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8，∴n=；

②当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，由①同理可得△DEM≌△GDN，∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，∴点G纵坐标为1，∴，∴x=14，∴DN=14+3=17=n﹣4，∴n=21；

③当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，∴OE=DM=3，即n=3；

④当点G落在AC边上时，如图5．∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，∴△DCE∽△OCA，∴，∴，∴n=，显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况．

综上可得，当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．