Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点A出发沿AB向点B移动，（点P与点A、B不重合），作PD∥BC交AC于点D，在DC上取点E，以DE、DP为邻边作平行四边形PFED，使点F到PD的距离，连接BF，设AP=x．

（1）△ABC的面积等于　 　；

（2）设△PBF的面积为y，求y与x的函数关系，并求y的最大值．

（3）当BP=BF时，求x的值．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）当x=时，y取得最大值，最大值为；（3）x=

【解析】

（1）根据题意，易得△ABC的高，再由三角形面积公式可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得PD、PM的值，进而可得AN的值，再由图示可得：y=S梯形PBCD-SPFED-S梯形PFCE；代入数据可得答案．
（3）过B作BT⊥AC于T交PF于K，由（2）得出的关系可知△AND∽△AGE，利用三角形面积，得到BT的值，继而得到cos∠A的值，最后得到x的值．

（1）根据题意，作AQ⊥BC，交BC于点Q，

易得：BQ=3，由勾股定理，易得AQ=4；

则

（2）设AQ与PD交于点M，与EF交于点N；

PD∥BC，

∴△APD∽△ABC，

∴

且AP=x，AB=5，BC=6，

可得：

易得，则AN=AM+MN=AM+HF=x，

∴y=S梯形PBCD﹣SPFED﹣S梯形BFEC

故当x=时，y取得最大值，最大值为．

（3）过B作BT⊥AC于T交PF于K，

∵PF∥AC，则BK⊥PF于K，由（2）知道

∴△AND∽△AGE，

∴

∴

∴

在△ABC中,∴

在Rt△ABT中,由勾股定理得,∴cos∠A

若BP=BF,则三线合一,

在Rt△BPK中cos∠BPK，

∴

解得