Question

15．如图，已知在正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，F在AD边上，且BE=DF，EF与AC交于点O．求证：△OEC为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 连接AE、CF，先由SAS证明△ABE≌△CDF，得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，再证明△AEC≌△FCE，得出∠ACE=∠FEC=45°，OE=OC，因此∠EOC=90°，即可得出结论．

解答 证明：连接AE、CF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠AEB=90°，∠ECF=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠ABE=∠CDF=90°}&{\;}\\{BE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEB=∠ECF，
在△AEC和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠AEB=∠ECF}&{\;}\\{EC=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△FCE（SAS），
∴∠ACE=∠FEC=45°，
∴OE=OC，∠EOC=90°，
∴△OEC为等腰直角三角形．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定；证明三角形全等是解决问题的关键．