Question

2．我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x-1的零点值，点（1，0）是函数y=x-1的零点．已知二次函数y=kx²-（4k+1）x+3k+3．
（1）若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范围；
（2）若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值；
（3）当k＜0时，在（2）的条件下，函数的两个零点分别是点A，B（点A在点B的左侧），将二次函数的图象在点A，B间的部分（含点A和点B）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将直线y=-4kx+3向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接求出△的值，进而得出k的取值范围；
（2）令y=0，直接解方程得出符合题意的k的值；
（3）首先求出A，B点坐标，进而表示出A′，B′点坐标，再表示出平移后解析式，进而得出n的取值范围．

解答 （1）证明：△=（4k+1）²-4k（3k+3）=（2k-1）²，
∵二次函数有两个不重合的零点，
∴2k-1≠0，即k≠$\frac{1}{2}$，
∵k≠0，
∴当k≠0且k≠$\frac{1}{2}$时，二次函数有两个不重合的零点；

（2）解：当y=0，则0=kx²-（4k+1）x+3k+3，
解方程得：x=$\frac{（4k+1）±\sqrt{（2k-1）^{2}}}{2k}$，
∴x=3或x=1+$\frac{1}{k}$，
∵函数的两个零点都是整数，k是整数，
∴$\frac{1}{k}$是整数．
∴k=±1；

（3）解：∵k＜0，
∴k=-1．
∴y=-x²+3x，y=4x+3．
∵函数的两个零点分别是A，B（点A在点B的左侧），
∴A（0，0），B（3，0）．
∴平移后的点为：A′（-n，0），B′（3-n，0）．
平移后的解析式为：y=4x+3+n．
∴-4n+3+n=0，
解得：n=1，
4（3-n）+3+n=0，
解得：n=5，
∴1≤n≤5．

点评 本题考查了二次函数和一次函数的性质，平移的性质，根的判别式等知识点的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．