Question

如图，直线l₁：y=-x+3与直线的图象交于A点，l₁与坐标轴分别交于B，C两点，l₂与坐标轴分别交于D，E两点．
（1）求点A的坐标，并求出经过A，C，D三点的抛物线函数解析式；
（2）题（1）抛物线上的点的横坐标不动，纵坐标扩大一倍后，得到新的抛物线，请写出这个新的抛物线的函数解析式，判断这个抛物线经过平移，轴对称这两种变换后能否经过A，B，E三点；如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．
（3）在题（1）中的抛物线顶点上方的对称轴上有一动点P，在对称轴右侧的抛物线上有一动点Q，问是否存在这样的动点P，Q，使△APQ与△ABD相似？如存在请求出动点Q的坐标，并直接写出AP的长度．

Answer 1

（1）解：，
解得：，
即：A（4，-1），
当y=0时，y=x-3=0，
x=6，
∴D（6，0），
当x=0时，y=-x+3=3，
∴C（0，3），
设经过A，C，D三点的抛物线函数解析式是y=ax²+bx+c，
把A（4，-1）C（0，3），D（6，0）代入并解得：a=，b=-2，c=3，
∴抛物线的解析式是，
答：点A的坐标是（4，-1），经过A，C，D三点的抛物线函数解析式是y=x²-2x+3．

（2）新的抛物线，
可以，因为过A，B，E的抛物线解析式为=-（x-）²+，
顶点为，可以把抛物线
先以x轴为对称轴做轴对称变换，则解析式为=-（x-4）²+2，
然后向左平移个单位，最后向上平移个单位．
答：新的抛物线的解析式是：，可以，变换的过程是先以x轴为对称轴做轴对称变换，
然后向左平移个单位，最后向上平移个单位．

（3）存在，因为A点是抛物线的顶点，
所以∠PAQ小于90度，必不可能等于∠BAD（这个角是钝角）
所以要使△APQ与△ABD相似，只要使∠PAQ等于∠ABD或者∠ADB，
就可以存在，
设抛物线对称轴与x轴交点为M，直线AQ与x轴交点为N，
则当∠PAQ=∠ABD时，△AMN≌△ABM，
所以N坐标为（5，0），
直线AQ解析式为y=x-5，
与抛物线的交点Q为（8，3），
此时AP=12或，
当∠PAQ=∠ADB时，△AMN∽△AND，
所以N坐标为（，0），
直线AQ解析式为y=2x-9，
与抛物线的交点Q为（12，15），
此时AP=24或．
答：动点Q的坐标是（8，3）或（12，15），AP的长度是12或或24或．
分析：（1）解直线I₁和直线I₂组成的方程组，即可求出A的坐标，把y=o，x=0，分别代入直线1₁和直线I₂即可求出D、C的坐标，设经过A，C，D三点的抛物线函数解析式是y=ax²+bx+c，代入坐标即可求出解析式；
（2）根据坐标设出解析式就能写出解析式，先以x轴为对称轴做轴对称变换，然后向左平移，最后向下平移即可；
（3）①当∠PAQ=∠ABD时，△AMN≌△ABM，求出Q的坐标，进一步求出AP的长，②当∠PAQ=∠ADB时，△AMN∽△AND，求出Q的坐标，进一步求出AP的长．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，图形的平移和旋转，相似三角形的旋转和判定等知识点，综合运用性质进行计算是解此题的关键．