Question

【题目】如图，矩形ABCD中，对角线AC＝2，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的点B′处，P，Q分别是AB，AC上的动点，则PE+PQ的最小值为（　　）

A.B.2C.1D.3

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据BC＝3BE利用折叠和三角函数求出∠ACB＝30°，得到AB＝，BC＝AB＝3，∠BAC＝60°，作点E关于AB的对称点E'，连接AE'，PE'，当Q，P，E'三点共线，且E'Q⊥AC时，PE+PQ的值最小，最小值为AE'的值，根据求出答案.

∵BC＝3BE，

∴EC＝2BE，

∵折叠，

∴BE＝B'E，∠ABC＝∠AB'E＝90°，，

∵sin∠ACB＝，

∴∠ACB＝30°，

在Rt△ABC中，AC＝2，∠ACB＝30°，

∴AB＝，BC＝AB＝3，∠BAC＝60°，

∴∠BAE＝∠EAC＝30°，

如图

作点E关于AB的对称点E'，连接AE'，PE'，

∵PE+PQ＝PE'+PQ，

∴当Q，P，E'三点共线，且E'Q⊥AC时，

PE+PQ的值最小，

∵BC＝3，BC＝3BE，

∴BE＝1，

∵E'，E两点关于AB对称，

∴BE'＝BE＝1，∠EAB＝∠E'AB＝30°，且∠BAC＝60°，

∴∠E'AC＝90°，

即PE+PQ的最小值为AE'的值，

∵∠BAE'＝30°，BE'＝1，AB⊥CB，

∴AE'＝2，

∴PE+PQ的最小值为2．

故选：B．