Question

8．请观察下列算式，找出规律并填空
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$ 则：
（1）第10个算式是$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$． 
（2）第n个算式为$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（3）根据以上规律解答下题：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意算式确定出第10个算式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，确定出第n个算式即可；
（3）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）第10个算式是$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；
（2）第n个算式是$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．
故答案为：（1）$\frac{1}{10×11}$；$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；（2）$\frac{1}{n（n+1）}$；$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．