Question

【题目】如图1所示，有一张三角形纸片ABC，已知∠ACB=90°,AC=24,BC=10,AB=26,点D为AB边上一点，联结CD，AD=CD=DB，沿CD把这张纸片剪成△和△两个三角形如图2所示，将纸片△沿直线方向平移（点A、始终都在同一直线上），与交于点E、与、分别交于点E、F。

（1）在△A平移过程中，求证：

（2）当△A平移到如图3所示的位置时，猜想图中的数量关系，并予以证明。

（3）设平移距离为x，在平移过程中，AP=AB，PB=AB，请求出△APB的面积等于原△ABC面积一半时的x值。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）D1E＝D2F，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据平移的性质可得AC∥AC1，然后结合∠ACB=90°可证得结论；

（2）根据平行线的性质和等边对等角可得∠AFD2＝∠A，然后可得AD2＝D2F，同理求出BD1＝D1E，然后利用线段和差证明AD2＝BD1即可得到D1E＝D2F；

（3）根据平移距离为x可得AB＝26-x，然后表示出AP，PB，根据△APB的面积等于原△ABC面积一半列出方程并求解，舍去不合题意的值即可得出结果.

解：（1）根据平移的性质可得AC∥AC1，

∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，

∴AC1⊥BC，即；

（2）D1E＝D2F；

证明：∵C1D1∥C2D2，

∴∠C1＝∠AFD2，

又∵AD=CD=DB，即C1D1＝C2D2＝BD2＝AD1，

∴∠C1＝∠A，

∴∠AFD2＝∠A，

∴AD2＝D2F，

同理：BD1＝D1E，

又∵AD1＝BD2，

∴AD2＝BD1，

∴D1E＝D2F；

（3）∵平移距离为x，

∴AB＝26-x，

∴AP=AB=，PB=AB=，

由题意得：，

整理得：，

解得：（舍去），，

∴△APB的面积等于原△ABC面积一半时的x值为.