Question

7．在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算．
定义：如果2³=8，所以log₂8=3：因为3²=9，所以log₃9=2
根据以上信息回答下列问题：
（1）计算：log₃81=4，log₃3=1，log₆36=2，log_x16=4，则x=2．
（2）设a^x=M，a^y=N（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0），猜想log_aMN和log_a$\frac{M}{N}$的结果，并证明．
（3）计算：①log₂（2×4×8×16×32×64）；②log₃$\frac{243}{81}$；③log₉3+log₉27．

Answer 1

分析 （1）利用题中的新定义求出所求式子的值即可；
（2）猜想log_aMN=x+y；log_a$\frac{M}{N}$=x-y，利用新定义证明即可；
（3）各式利用新定义计算即可得到结果．

解答 解：（1）log₃81=log₃3⁴=4，log₃3=1，log₆36=log₆6²=2，log_x16=4，则x=2；
故答案为：4；1；2；2；
（2）log_aMN=log_aM+log_aN；log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN；
证明：log_aMN=log_aa^x•a^y=log_aa^x+y=x+y；log_aM+log_aN=x+y，
则log_aMN=log_aM+log_aN；
log_a$\frac{M}{N}$=log_a$\frac{{a}^{x}}{{a}^{y}}$=log_aa^x-y=x-y；log_aM-log_aN=x-y，
则log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN；
（3）①原式=log₂2+log₂4+log₂8+log₂16+log₂32+log₂64=1+2+3+4+5+6=21；
②原式=log₃243-log₃81=5-4=1；
③原式=log₉3×27=log₉81=2．

点评 此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．