Question

【题目】如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．

（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为______；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是______；

（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；

（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点，

①求所有定点的坐标；

②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3；（2）四边形AMDN是矩形；（3）①L1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，L2经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点；②L2应平移的距离是或．

【解析】

（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；

（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可判断四边形AMDN是矩形；

（3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．

（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），

由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．

故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3

（2）结论：四边形AMDN是矩形．

（3）①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，

故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，

∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，

故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，

②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，

如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，

设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，

由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．

解得：x＝，

抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是或．