Question

【题目】发现问题：

（1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法）

问题探究：

（2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一点，AD＝2，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由．

问题解决：

（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度．

Answer 1

【答案】（1）如图所示，见解析；（2）存在．BP＝3+或BP＝3﹣；（3）当球员在PQ上距离点P（12﹣7）米时，才能使射门角度最大，PM的长度为（12﹣7）米．

【解析】

（1）如图1所示．作直径AB的垂直平分线，交⊙O于点P和点P'，则点P和点P'即为所求；

（2）如图2和图2'所示：证明△BPD∽△CAP，根据相似三角形的性质得出比例式，设BP=x，则PC=6-x，解方程，方程的解即为BP的长度；

（3）先证明一个基本事实：一条弧所对的圆周角大于圆外角；再在图3中过点E、F作⊙O，使⊙O与PQ相切于点M，则此时∠EMF最大；延长AB、QP交于点N，证明△NEM∽△NMF，利用相似三角形的性质得出比例式，计算即可解得PM的长．

（1）如图所示：作AB的垂直平分线交⊙O于点P、P'，则点P或P'即为所求；

（2）存在．

如图2和图2'所示：

在△ABC中

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，AD＝2，

∴∠B＝∠C＝45°，BD＝，BC＝AB＝6，

∴∠BDP+∠BPD＝135°．

∵∠APD＝45°，

∴∠APC+∠BPD＝135°，

∴∠BDP＝∠APC，

∴△BPD∽△CAP

∴＝．

设BP＝x，则PC＝6﹣x，

∴＝，

解得x1＝3+，x2＝3﹣，

∴BP＝3+或BP＝3﹣；

（3）先证明以下事实：若点A、E、F、G均在⊙O'上，点G'为⊙O'外一点，则∠G＞∠G'

证明：如图所示，连接AF，

∵∠G＝∠EAF，∠EAF＞∠G'，

∴∠G＞∠G'，即一条弧所对的圆周角大于圆外角．

如图3，过点E、F作⊙O，使⊙O与PQ相切于点M，由圆周角大于圆外角可知此时∠EMF最大．

（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度．

∵AB＝66米、EF＝8米，EB＝FA，

∴EB＝29米，

延长AB、QP交于点N，

∵∠BPQ＝135°，

∴∠BPN＝45°，

∵BN＝BP＝7，PN＝BP＝7，NE＝36，NF＝44米，

∵∠N＝∠N，∠NEM＝∠NMF＝90°，

∴△NEM∽△NMF，

∴＝，

∴NM2＝NENF，

∴NM＝12米，

∴PM＝NM﹣PN＝(12﹣7)米．

答：当球员在PQ上距离点P为(12﹣7)米时，才能使射门角度最大，即PM的长度为(12/span>﹣7)米．