Question

【题目】如图，已知ABCD．

（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；

（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）1:2

【解析】分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值。

详解：（1）如图所示：

；

（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD，

∵AE=AB，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠B=∠EAD，

∵∠B=∠D，

∴∠DAE=∠D；

（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△BEF∽△AFD，

∴=，

∵E为BC的中点，

∴BE=BC=AD，

∴EF：FA=1：2．