【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
【答案】证明:
(1)∵AB∥CD,即AE∥CD,
又∵CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形. 2分
∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD,
又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE,
∴四边形AECD是菱形;········· 4分
(2)证法一:∵E是AB中点,∴AE=BE.
又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,
∴2∠BCE+2∠ACE=180°,∴∠BCE+∠ACE=90°.
即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.
证法二:连DE,则DE⊥AC,且平分AC,
设DE交AC于F,∵E是AB的中点,∴EF∥BC.
∴BC⊥AC,∴△ABC是直角三角形.······· 8分
【解析】
试题(1)先根据平行四边形的定义证得四边形AECD是平行四边形,根据平行线的性质可得∠ACE=∠CAD,再结合角平分线的性质可得AE=CE,从而证得结论;(2)由AE=CE,AE=BE可得BE=CE,即可得到∠B=∠BCE,由∠B+∠BCA+∠BAC=180可得2∠BCE+2∠ACE=180,即可得到结果.
(1)∵AB∥CD, CE∥AD,
∴四边形AECD是平行四边形.
∵CE∥AD,
∴∠ACE=∠CAD.
∵AC平分∠BAD,
∴∠CAE=∠CAD.
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE.
∴四边形AECD是菱形;
(2)∵AE=CE,AE=BE,
∴BE=CE,
∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180,
∴2∠BCE+2∠ACE=180,
∴∠BCE+∠ACE=90,即∠ACB=90.
∴△ABC是直角三角形.
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【题目】如图,抛物线 (a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程 的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】说明理由
如图,∠1+∠2=230°,b∥c, 则∠1、∠2、∠3、∠4各是多少度?
解:∵ ∠1=∠2 (_________________________)
∠1+∠2=230°
∴∠1 =∠2 =________(填度数)
∵ b∥c
∴∠4 =∠2= ________(填度数)
( )
∠2 +∠3 =180° ( )
∴∠3 =180°-∠2 =_________(填度数)
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【题目】如图1,已知∠MON=140°,∠AOC与∠BOC互余,OC平分∠MOB,
(1)在图1中,若∠AOC=40°,则∠BOC= °,∠NOB= °.
(2)在图1中,设∠AOC=α,∠NOB=β,请探究α与β之间的数量关系( 必须写出推理的主要过程,但每一步后面不必写出理由);
(3)在已知条件不变的前提下,当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置,此时α与β之间的数量关系是否还成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出此时α与β之间的数量关系.
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【题目】电话计费问题,下表中有两种移动电话计费方式:
温馨揭示:方式一:月使用费固定收(月收费:38元/月);主叫不超限定时间不再收费(80分钟以内,包括80分钟);主叫超时部分加收超时费(超过部分0.15元/);被叫免费。
方式二:月使用费0元(无月租费);主叫限定时间0分钟;主叫每分钟0.35元/;被叫免费。
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为,方式一计费元,方式二计费元。写出和关于的函数关系式。
(2)在平面直角坐标系中画出(1)中的两个函数图象,记两函数图象交点为点,则点的坐标为_____________________(直接写出坐标,并在图中标出点)。
(3)根据(2)中函数图象,请直接写出如何根据每月主叫时间选择省钱的计费方式。
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【题目】把下列各数填入它所属的集合内:
,0,5.2, ,+(﹣4),﹣2,﹣(﹣3 ),0.25555…,﹣0.030030003…
(1)分数集合:{______ …}
(2)非负整数集合:{______ …}
(3)有理数集合:{______ …}.
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【题目】如图∠AOB是直角,在∠AOB外作射线OC,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)若∠AOC=38°,求∠MON的度数;
(2)若∠AOC=,试说明∠MON的大小与无关.
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【题目】如图,数轴上线段AB=2(单位长度),线段CD=4(单位长度),点A在数轴上表示的数是-10,点C在数轴上表示的数是16.若线段AB以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动,同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t s.
(1)当点B与点C相遇时,点A、点D在数轴上表示的数分别为________;
(2)当t为何值时,点B刚好与线段CD的中点重合;
(3)当运动到BC=8(单位长度)时,求出此时点B在数轴上表示的数.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边BC上一点,点E、F分别是线段AB、AD中点,联结CE、CF、EF.
(1)求证:△CEF≌△AEF;
(2)联结DE,当BD=2CD时,求证:AD=2DE.
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