Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是

AC

的中点，DE⊥AB，垂足为E，AC分别与DE、DB相交于点F、G．求证：
（1）DF=FG；
（2）AF=FG；
（3）当D为

ABC

中点时，上述两个结论是否还成立？若成立，请证明．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：（1）连接AD，延长DE交⊙O于M，如图1，根据垂径定理得

AD

=

AM

，而D是

AC

的中点，则

AD

=

AM

=

CD

，根据圆周角定理得到∠3=∠B，再由AB为直径，
得到∠ADB=90°，所以∠3+∠AGD=90°，易得∠1=∠AGD，所以DF=FG；
（2）根据圆周角定理由

AD

=

AM

=

CD

得到∠3=∠2，则AF=FG；
（3）连接AD，延长DE交⊙O于M，如图2，根据垂径定理由DE⊥AB得到

AD

=

AM

，则有

AD

=

AM

=

CD

，于是根据圆周角定理得到∠CAD=∠ADM，所以FA=FD；
再由三角形外角性质得∠ABD=∠G+∠BAC，由

AD

=

CD

得∠ABD=∠CAD=∠BAC+∠DAB，所以∠G=∠BAD，然后利用

BD

=

BM

得到∠BDM=∠BAD，所以∠BDM=∠G，于是可判断FD=FG．

解答：证明：（1）连接AD，延长DE交⊙O于M，如图1，
∵DE⊥AB，
∴

AD

=

AM

，
∵D是

AC

的中点，
∴

AD

=

AM

=

CD

，
∴∠3=∠B，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠3+∠AGD=90°，
∵∠B+∠1=90°，
∴∠1=∠AGD，
∴DF=FG；
（2）∵

AD

=

AM

=

CD

，
∴∠3=∠2，
∴AF=FG；
（3）上述两个结论成立．
连接AD，延长DE交⊙O于M，如图2，
∵DE⊥AB，
∴

AD

=

AM

，
∵D是

ABC

的中点，
∴

AD

=

AM

=

CD

，
∴∠CAD=∠ADM，
∴FA=FD；
∵∠ABD=∠G+∠BAC，
而

AD

=

CD

，
∴∠ABD=∠CAD=∠BAC+∠DAB，
∴∠G=∠BAD，
∵

BD

=

BM

，
∴∠BDM=∠BAD，
∴∠BDM=∠G，
∴FD=FG．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．