Question

19．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-$\frac{3}{2}$，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．
（1）求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求四边形PAOC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求的直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x-1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=$\frac{1}{2}$m²-2m，然后利用三角形的面积公式可求得S_{四边形PAOC}=S_△AOC+S_△PAC=2PQ+4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）根据两个角对应相等得两个三角形相似，可得M₁，根据抛物线的对称性，可得M₂，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$x+2中，当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=-$\frac{3}{2}$对称，
∴点B的坐标为1，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过A（-4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=-4a
∴a=-$\frac{1}{2}$
∴y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．

（2）设P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）．
如图1，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）
=-$\frac{1}{2}$m²-2m，
∵S_{四边形PAOC}=S_△AOC+S_△PAC=$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×PQ×4=2PQ+4=-m²-4m+4=-（m+2）²+8，
∴当m=-2时，△PAC的面积有最大值是8，
此时P（-2，3）．

（3）如图2，
，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=20+5=25=AB²，
∴∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△ABC∽△AOC∽△CBO，
①若点M在x轴上方时，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC．
根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC；
②若点M在x轴的下方时，设N（n，0），则M（n，-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2），
∴MN=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2，AN=n+4，
当$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AN}{AC}$，即$\frac{MN}{AC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$时，MN=$\frac{1}{2}$AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=$\frac{1}{2}$（n+4），
化简，得n²+2n-8=0，
n₁=-4（舍），n₂=2，M（2，-3）；
当$\frac{MN}{AC}$=$\frac{AN}{BC}$，即$\frac{MN}{AN}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2时，MN=2AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=2（n+4），
化简，得n²-n-20=0，
解得：n₁=-4（舍去），n₂=5，
∴M（5，-18），
综上所述：存在点M₁（0，2），M₂（-3，2），M₃（2，-3），M₄（5，-18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用方程得解得出判别式的不等式是解题关键；利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标是解题关键；利用相似三角形的对应变得比相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．