Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O．与AC相切于点E，连结DE并延长与BC的延长线交于点F．

（1）求证：EF2=BDCF；

（2）若CF=1，BD=5．求sinA的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）sinA=

【解析】

试题（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，求出BD=BF，证△BHE与△ECF相似即可；

（2）连接DQ，求出EF，根据勾股定理求出BE，根据三角形面积公式求出DQ，根据勾股定理求出BQ，求出∠BAC=∠BDQ，解直角三角形求出即可．

试题解析：（1）如图1，连接OE、BE，

∵AC与圆O相切，

∴OE⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OE∥BC，

又∵O为DB的中点，

∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，

∴OE=BF，

又∵OE=BD，

则BF=BD，

∵BD为⊙O直径，

∴∠BED=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BEF=∠ECF=90°，

∵∠F=∠F，

∴△ECF∽△BEF，

∴，

∴EF2=BFCF=BDCF；

（2） 如图2，连接DQ，

∵EF2=BDCF，CF=1，BD=5，

∴EF=，

∵BD为⊙O的直径，

∴DQ⊥BF，BE⊥DF，

∵BD=BF，BD=5，

∴BF=5，DE=EF=，

即DF=2，

由勾股定理得：BE==2，

∵在△BDF中，由三角形面积公式得：BF×DQ=DF×BE，

∴5DQ=2×2，

∴DQ=4，

在Rt△BDQ中，BD=5，DQ=4，由勾股定理得：BQ=3，

∵∠ACB=90°，DQ⊥BF，

∴DQ∥AC，

∴∠A=∠BDQ，

∴sinA=sin∠BDQ=．