Question

已知方程x²-（2k-1）x+k-4=0，实数k分别取何值时：
（1）两实根异号，且正根的绝对值较大；
（2）一个根大于3，另一个根小于3．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据一元二次方程有两个不相等的实根，则判别式△＞0，并且正根的绝对值较大，则两根的和大于0，且两根的积小于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；
（2）设方程的两个根分别是x₁、x₂，根据题意，得（x₁-3）（x₂-3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得k的取值范围，再根据△＞0确定k的范围．

解答：解：方程x²-（2k-1）x+k-4=0的根的判别式为：△=[-（2k-1）]²-4（k-4），
整理，得4（k-1）²+13＞0．
则k取任意实数．
（1）设方程的两个根为x₁、x₂，则：
∵两实根异号，且正根的绝对值较大，
∴x₁+x₂=2k-3＞0，且x₁x₂=2k-4＜0，
解得：

3

2

＜k＜2，
所以k的取值范围是

3

2

＜k＜2；

（2）设方程的两个根为x₁、x₂，则：
x₁+x₂=2k-3＞0，且x₁x₂=2k-4＜0
∵一个根大于3，另一个根小于3
∴（x₁-3）（x₂-3）＜0
x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=2k-4-6k+9+9＜0，即：-4k+14＜0．
解得 k＞

7

2

故k的取值范围为：k＞

7

2

．

点评：此题主要是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的运用，在已知方程的一根x₁比常数a大，一根x₂比常数a小的时候，可列（x₁-a）（x₂-a）＜0的不等式分析求解．