Question

8．如图，AC⊥MN于点C，BD⊥MN于点D，线段EF在线段CD上滑动．AC=3，BD=4，EF=5．设CE=x，CD=y．
（1）x、y各取何值时△ACE和△BDF全等？
（2）若△ACE∽△BDF，求y与x之间的关系；
（3）如果y=14，那么当x取何值时，AE+FB取值最小？要求说明理由．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形对应边相等可求得x、y的值；
（2）由相似三角形的性质可求得x、y之间的函数关系式；
（3）作BG∥MN，取BG=EF，连结AG交MN于点P，滑动EF使点E与点P重合，点F落到点Q处，此时AE+FB取最小值．根据平行四边形的性质可知AE+FB=AE+EG，由两点之间线段最短可知当点E与点P重合是AE+BF有最小值，然后由△ACP∽△BDQ列出比例式，从而可求得x的值．

解答 解：（1）∵△ACE≌△BDF，
∴FD=AC=3，CE=BD=4．
∴x=4，y=FD+EF+CE=3+5+4=12．
（2）∵△ACE∽△BDF，
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{FD}$或$\frac{AC}{CE}=\frac{DF}{BD}$．
由$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{FD}$可知：$\frac{3}{x}=\frac{4}{y-x-5}$，整理得：y=$\frac{7}{3}x+5$；
由$\frac{AC}{CE}=\frac{DF}{BD}$可知.$\frac{3}{x}=\frac{y-x-5}{4}$，整理得；y=$\frac{12}{x}+x+5$．
∴y与x之间的函数关系式为：y=$\frac{7}{3}x+5$或y=$\frac{12}{x}+x+5$．
（3）作BG∥MN，取BG=EF，连结AG交MN于点P，滑动EF使点E与点P重合，点F落到点Q处，此时AE+FB取最小值．

证明：连结BQ、GE．
∵BG∥EF，BG=EF，
∴四边形EGBF是平行四边形．
同理四边形PGBQ也是平行四边形．
∴EG=FB，PG=QB．
∴AE+BF=AE+EG．
∴当点E与点P重合时，AE+EG=AP+PG=AG．
由两点之间线段最短可知：AE+BF的最小值=AG．
∵PG∥QB，
∴∠GPQ=∠BQD．
∵∠APC=∠GPQ，
∴∠APC=∠BQD．
又∵∠ACP=∠BDQ，
∴△ACP∽△BDQ．
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DQ}$，即$\frac{3}{x}=\frac{4}{14-x-5}$．
解得：x=$\frac{27}{7}$．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质、相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、线段的性质，明确当E与点P重合时AE+FB有最小值是解题的关键．