Question

【题目】四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．

（1）如图，求证：矩形是正方形；

（2）若，求的长度；

（3）当线段与正方形的某条边的夹角是30°时，直接写出的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）当与的夹角为时，；当与的夹角为时，

【解析】

（1）过作于点，于点，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可；

（2）通过计算发现是中点，点与重合，由（1）可知四边形是正方形，由此即可解决问题．

（3）分两种情形考虑问题即可；

解：（1）证明：过作于点，于点，如图：

∵四边形为正方形

∴

∴

∵

∴

∵

∵

∴

∴在和

∴

∴

∴矩形是正方形．

（2）如图：

∵由（1）可知，在中，

∴

∵

∴

∴与重合

∵四边形是正方形

∴．

（3）①当与的夹角为时，如图：

∵，

∴

∴

∴；

②当与的夹角为时，如图：

∵，

∴

∴

∵

∴．

∴综上所述， 或

故答案是：（1）证明见解析（2）（3）当与的夹角为时，；当与的夹角为时，