Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；

（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．

①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？

②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为；（2）；（3）①5；② P1（2.5，0），P2（9-，0），P3（，0）．

【解析】

（1）由抛物线过原点和点A（10，0）设其解析式为，代入点B的坐标（2，2）解得a的值即可得到抛物线的解析式；

（2）由已知条件求出直线AB的解析式，由点P的坐标为（m，0）结合已知条件可得OQ=10-2m，由此即可用含m的式子表达出DQ的长度，这样由四边形ACDE是正方形即可由S=DQ2求出S与m之间的函数关系式了；

（3）①将x=2代入抛物线解析式得y=2，可知点N的坐标为（2，2），点G的坐标为（2，4），当GF和EQ落在同一条直线上时，△FGQ为等腰直角三角形，则PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，将x=6代入直线AB解析式可求得得点M的坐标为（6，1），即QM=1，由旋转法可知，每一个阴影部分面积等所在正方形面积的一半，由此可求两个阴影部分面积和；②分为PF、DE在同一直线上；PF、CQ在同一直线上；GF、CD在同一直线上三种情况分析计算求出相应的P点的坐标即可.

（1）∵抛物线过O（0，0），A（10，0），

∴设抛物线解析式为，

将B（2，2）代入，得，解得，

∴抛物线解析式为，

即 ：；

（2）设直线AB的解析式为：，将A（10，0），B（2，2）代入，得，解得，

∴，

∵P（m，0），

∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，

∴当x=10-2m时，QM=，

∴QD=m，

∵四边形QCDE是正方形，

∴；

（3）① ∵点P的坐标为（2，0），

∴将x=2代入抛物线解析式：可得点N的坐标为（2，2），

由正方形的性质可得点G的坐标为：（2，4），

∴PG=4，

又∵当GF和EQ落在同一条直线上时，△PGQ为等腰直角三角形，

∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式 可得点M的坐标为：（6，1），即QM=1，QD=2，

∴阴影部分面积和=×（PG2+QD2）=5；

②若点P继续向点A运动，则当两个正方形分别有边落在同一条直线上时，点P的坐标如下：

P1（2.5，0），P2（，0），P3（9-，0）．