Question

【题目】已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1， ）．
（1）求tan∠OPQ的值；
（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．
①求抛物线C′的解析式；
②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2

∴顶点P（1，0），

∵当x=0时，y=1，

∴Q（0，1），

∴tan∠OPQ=1；

（2）解：①设抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+m，

∴Q′（0，m）其中m＞1，

∴OQ′=m，

∵F（1， ），

过F作FH⊥OQ′，如图：

∴FH=1，Q′H=m﹣ ，

在Rt△FQ′H中，FQ′2=（m﹣ ）2+1=m2﹣m+ ，

∵FQ′=OQ′，

∴m2﹣m+ =m2，

∴m= ，

∴抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+ ，

②方法一：设点A（x0，y0），则y0=x02﹣2x0+ ①，

过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x0，n），

∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，

连接FP，

∵F（1， ），P（1，0），

∴FP⊥x轴，

∴FP∥AN，

∴∠ANF=∠PFN，

连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线，

∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，

∴∠ANF=∠AFN，则AF=AN，

∵A（x0，y0），F（1， ），

∴AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣ ）2=x02﹣2x0+1+y02﹣y0+ =x02﹣2x0+ +y02﹣y0=（x02﹣2x0+ ）+y02﹣y0②

∵y0=x02﹣2x0+ ①，

将①右边整体代换②得，AF2=（x02﹣2x0+ ）+y02﹣y0=y0+y02﹣y0=y02

∵y0＞0

∴AF=y0，

∴y0=y0﹣n，

∴n=0，

∴N（x0，0），

设直线Q′F的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得 ，

∴y=﹣ x+ ，

由点N在直线Q′F上，得，0=﹣ x0+ ，

∴x0= ，

将x0= 代入y0=x ﹣2x0+ ，

∴y0= ，

∴A（ ， ）．

方法二：由①有，Q'（0， ），F（1， ），P（1，0），

∴直线FQ'的解析式为y=﹣ x+ ①，

∵FQ'⊥PK，P（1，0），

∴直线PK的解析式为y= x﹣ ②

联立①②得出，直线FQ'与PK的交点M坐标为（ ， ），

∵点P，K关于直线FQ'对称，

∴K（ ， ），

∵F（1， ），

∴直线FK的解析式为y= x+ ③，

∵射线FK与抛物线C′：y=x2﹣2x+ ④相交于点A，

∴联立③④得， 或 （舍），

∴A（ ， ）．

【解析】（1）配成顶点式，求出顶点坐标，利用正切定义，求出正切；（2）抛物线上下平移，解析式整体上加减常数m，由FQ′=OQ′，利用勾股定理构建方程，求出m;由"P关于直线Q′F的对称点为K,“可利用轴对称的性质，得出直线Q′F是线段PK的垂直平分线，以A的横、纵坐标为未知数建立两个方程y0=x02﹣2x0+ 5 4 ①，0=﹣ x0+ ,求出坐标.