Question

【题目】已知∠MON = 50°，OE 平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O重合)，连接AC交射线OE于点D、设∠OAC = x°．

（1）如图①，若AB//ON，

①则∠ABO 的度数是________；

②当∠BAD =∠ABD 时，x=_______；当∠BAD = ∠BDA 时，x=________．

（2）如图②，若AB⊥OE，则是否存在这样的x值，使得 △ABD 中有一个角是另一个角的两倍．存在，直接写出x的值；不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①25°，②105，52.5；（2）存在，x的值为20，110，5，125，35，95．

【解析】

（1）利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，利用三角形的内角和定理及其推论计算求解即可．

（2）按点D在线段OB上或OB的延长线上分两大类，再根据△ABD 中有一个角是另一个角的两倍的三种可能性再分类，利用三角形的内角和及其推论分别求解计算即可.

解：（1）①∵∠MON=50°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=25°
∵AB∥ON∴∠ABO=25°

②当∠BAD=∠ABD，则∠BAD=25°

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°

∴∠AOB+∠ABO+∠OAC+∠BAD=180°

∴∠OAC=180°-∠AOB-∠ABO-∠BAD =180°-25°-25°-25°=105°

当∠BAD=∠BDA，∵∠ABO=25°

∴∠BAD=77.5°

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°

∴∠OAB=180°-∠ABO-∠AOB=180°-25°-25°=130°

∴∠OAC=∠OAB-∠BAD=130°-77.5°=52.5°

故答案为：①25°；②105，52.5；

（2）存在，推导如下

当点D在线段OB上时，如图③所示：

图③

i)当∠ABD=2∠DAB=90°时，则∠ADB=∠DAB=45°,

∵∠AOD+∠OAC=∠ADB,

∴∠OAC=∠ADB-∠AOD=45°-25°=20°,

ii)当∠ADB=2∠DAB时，∵∠ABD=90°，∴∠ADB=60°，

∵∠AOD+∠OAC=∠ADB，

∴∠OAC=∠ADB-∠AOD=60°-25°=35°，

iii) 当∠DAB=2∠ADB时, ∵∠ABD=90°，∴∠ADB=30°，

∵∠AOD+∠OAC=∠ADB，

∴∠OAC=∠ADB-∠AOD=30°-25°=5°.

当点D在线段OB延长线上时，如图③所示：

图③

i)当∠ABD=2∠DAB=90°时，则∠ADB=∠DAB=45°,

∵∠AOD+∠OAC+∠ADB=180°,

∴∠OAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-25°-45°=110°；

ii)当∠ADB=2∠DAB时，∵∠ABD=90°，∴∠ADB=60°，

∵∠AOD+∠OAC+∠ADB=180°,

∴∠OAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-25°-60°=95°；

iii) 当∠DAB=2∠ADB时, ∵∠ABD=90°，∴∠ADB=30°，

∵∠AOD+∠OAC+∠ADB=180°,

∴∠OAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-25°-30°=125°；

综上所述，存在这样的∠OAC，使得 △ABD 中有一个角是另一个角的两倍，其值x

为20，110，5，125，35，95．