【题目】如图,Rt△AOB在平面直角坐标系中,点O与坐标原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上,,将△AOB沿直线BE折叠,使得OB边落在AB上,点O与点D重合.
(1)求直线BE的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)x轴上是否存在点P,使△PAD为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标,若不存在,请说明理由。
【答案】(1)y=x+2 (2)(-3,)(3) 或()或(0,0)或(-4,0)
【解析】
(1)先利用直角三角形的性质(直角三角形中,如果有一个角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.)和勾股定理求出点的坐标E(﹣2,0),进一步用待定系数法求出一次函数的解析式y=x+2.
(2)过D作DG⊥OA于G.由折叠可知DE=2.再由∠EDG=30°,得到GE=1,DG=,从而可求出D的坐标;
(3)设P(x,0).可求得DG=,AD=.然后分三种情况讨论:
①以A为圆心,AD为半径作圆与x轴交于点P;②以D为圆心,DA为半径作圆与x轴交于点P;③设线段AD的垂直平分线交x轴于P.
(1)∵OB=,AO=6,∴AB==,∴∠BAO=30°,∴∠ABO=60°.
∵沿BE折叠O、D重合,∴∠EBO=30°,OE=BE,设OE=x,则(2x)2=x2+,∴x=2,即 BE=4,E(﹣2,0),设y=kx+b代入得:,解得:,∴直线BE的解析式是:;
(2)过D作DG⊥OA于G.
∵沿BE折叠O、D重合,∴DE=2.
∵∠DAE=30°,∴∠DEA=60°,∠ADE=∠BOE=90°,∴∠EDG=30°,∴GE=1,DG=,∴OG=1+2=3,∴D的坐标是:D;
(3)设P(x,0).
∵∠OAB=30°,DG=,∴AD=2DG=.分三种情况讨论:
①以A为圆心,AD为半径作圆与x轴交于点P,则AP=AD=,∴P(,0);
②以D为圆心,DA为半径作圆与x轴交于点P,则AP=2AG= DG=6.
∵OA=6,∴P与O重合,∴P(0,0);
③设线段AD的垂直平分线交x轴于P,则PA=PD,∴,解得:x=-4,∴P(-4,0).
综上所述:P的坐标为:P(,0)或P(0,0)或P(-4,0).
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【题目】某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘(如图,转盘被平均分成20份),并规定:顾客每购物满200元,就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后,指针正好对准红色、黄色、绿色区域,那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券,凭购物券可以在该商场继续购物.如果顾客不愿意转盘,那么可直接获得10元的购物券.
(1)求转动一次转盘获得购物券的概率;
(2)转转盘和直接获得购物券,你认为哪种方式对顾客更合算?
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【题目】如图所示.在△ABC中,内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论:①∠ACB=2∠APB;②S△PAC:S△PAB=AC:AB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF.其中,正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】定义一种对正整数n的“F运算”:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数);并且运算重复进行.例如,取n=26,第3次“F运算”的结果是11.则:若n=449,则第449次“F运算”的结果是____.
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【题目】阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如.善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中a、b、m、n均为整数),则有.
∴.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(a,b,m,n均为正整数)
(1),用含m、n的式子分别表示a、b,得:a=___,b=___;
(2)当a=7,n=1时,填空:7+ =( +)2
(3)若,求a的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2,6),C(2,2)两点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;
(3)若直线y=﹣ x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.
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【题目】如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )
A.点(0,3)
B.点(2,3)
C.点(5,1)
D.点(6,1)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°.如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,点B1恰好落在边BC的中点处.那么旋转的角度等于( )
A.55°
B.60°
C.65°
D.80°
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