【题目】如图,已知长方形OABC的顶点O在坐标原点,A、C分别在x、y轴的正半轴上,顶点B(8,6),直线y=-x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M,点P是AD的中点,直线OP交AB于点E
(1)求点D的坐标及直线OP的解析式;
(2)求△ODP的面积,并在直线AD上找一点N,使△AEN的面积等于△ODP的面积,请求出点N的坐标
(3)在x轴上有一点T(t,0)(5<t<8),过点T作x轴的垂线,分别交直线OE、AD于点F、G,在线段AE上是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰直角三角形,若存在,请求出点Q的坐标及相应的t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点D的坐标为(2,6).直线OP的解析式为y=x.(2)点N的坐标为(3,5)或(13,-5).(3)在线段AE上存在一点Q,使得△FGQ为等腰直角三角形,当t=时点Q的坐标为(8,)或(8,),当t=时点Q的坐标为(8,).
【解析】
(1)根据长方形的性质可得出点A的坐标,利用待定系数法可求出直线AD的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标,再由点P是AD的中点可得出点P的坐标,进而可得出正比例函数OP的解析式;
(2)利用三角形面积的公式可求出S△ODP的值,由直线OP的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标,设点N的坐标为(m,-m+8),由△AEN的面积等于△ODP的面积,可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出m的值,再将其代入点N的坐标中即可得出结论;
(3)由点T的坐标可得出点F,G的坐标,分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况考虑:①当∠FGQ=90°时,根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程,解之可得出t值,再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标;②当∠GFQ=90°时,根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程,解之可得出t值,再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标;③当∠FQG=90°时,过点Q作QS⊥FG于点S,根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于t的一元一次方程,解之可得出t值,再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标.综上,此题得解.
(1)∵四边形OABC为长方形,点B的坐标为(8,6),
∴点A的坐标为(8,0),BC∥x轴.
∵直线y=-x+b经过点A,
∴0=-8+b,
∴b=8,
∴直线AD的解析式为y=-x+8.
当y=6时,有-x+8=6,
解得:x=2,
∴点D的坐标为(2,6).
∵点P是AD的中点,
∴点P的坐标为(,),即(5,3),
∴直线OP的解析式为y=x.
(2)S△ODP=S△ODA-S△OPA,
=×8×6-×8×3,
=12.
当x=8时,y=x=,
∴点E的坐标为(8,).
设点N的坐标为(m,-m+8).
∵S△AEN=S△ODP,
∴××|8-m|=12,
解得:m=3或m=13,
∴点N的坐标为(3,5)或(13,-5).
(3)∵点T的坐标为(t,0)(5<t<8),
∴点F的坐标为(t,t),点G的坐标为(t,-t+8).
分三种情况考虑:
①当∠FGQ=90°时,如图1所示.
∵△FGQ为等腰直角三角形,
∴FG=GQ,即t-(-t+8)=8-t,
解得:t=,
此时点Q的坐标为(8,);
②当∠GFQ=90°时,如图2所示.
∵△FGQ为等腰直角三角形,
∴FG=FQ,即t-(-t+8)=8-t,
解得:t=,
此时点Q的坐标为(8,);
③当∠FQG=90°时,过点Q作QS⊥FG于点S,如图3所示.
∵△FGQ为等腰直角三角形,
∴FG=2QS,即t-(-t+8)=2(8-t),
解得:t=,
此时点F的坐标为(,4),点G的坐标为(,)
此时点Q的坐标为(8,).
综上所述:在线段AE上存在一点Q,使得△FGQ为等腰直角三角形,当t=时点Q的坐标为(8,)或(8,),当t=时点Q的坐标为(8,).
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【题目】如图,P,Q分别是双曲线在第一、三象限上的点,PA⊥轴,QB⊥轴,垂足分别为A,B,点C是PQ与轴的交点.设△PAB的面积为,△QAB的面积为,△QAC的面积为,则有( )
A. B. C. D.
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【题目】某校九年级八个班共有320名学生,男女生人数大致相同,调查小组为调查学生的体质健康水平,开展了一次调查研究,请将下面的过程补全.
收集数据
(1)调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本,下面的取样方法中,合理的是_____(填字母);
A.抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本
B.抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本
C.从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本
整理、描述数据
(2)抽样方法确定后,调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下:
整理数据,如下表所示:
2019年九年级部分学生学生的体质健康测试成绩统计表
体质成绩范围 | 学生人数 | 体质成绩范围 | 学生人数 |
50≤x<55 | 1 | 75≤x<80 | |
55≤x<60 | 1 | 80≤x<85 | ( ) |
60≤x<65 | 2 | 85≤x<90 | ( ) |
65≤x<70 | 2 | 90≤x<95 | 5 |
70≤x<75 | 4 | 95≤x<100 | 2 |
分析数据,得出结论
调查小组将统计后的数据与去年同期九年级学生的体质健康测试成绩(上方直方图)进行对比分析.
(3)若规定80分以上(包括80分)为合格健康体质.从合格率的角度看,这两年的学生哪年体质测试成绩好?
(4)体育老师计划根据2019年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目,则全年级约有_______名同学参加此项目.
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【题目】如图,平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上,过点A、B两点分别作直线l1的垂线,垂足分别为A1、B1,我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影,其长度可记作T(AB,CD)或T(AB,l2),特别地,线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C,请依据上述定义解决如下问题.
(1)如图1,在锐角△ABC中,AB=5,T(AC,AB)=3,则T(BC,AB)= ;
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,T(AC,AB)=4,T(BC,AB)=9,求△ABC的面积;
(3)如图3,在钝角△ABC中,∠A=60°,点D在AB边上,∠ACD=90°,T(AD,AC)=2,T(BC,AB)=6,求T(BC,CD).
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【题目】我校八年级的体育老师为了了解本年级学生喜欢球类运动的情况,抽取了该年级部分学生对篮球、足球、排球、乒乓球的爱好情况进行了调查,并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图(说明:每位学生只选一种自己最喜欢的一种球类),请根据这两幅图形解答下列问题:
(1)在本次调查中,体育老师一共调查了多少名学生?
(2)将两个不完整的统计图补充完整;
(3)求出乒乓球在扇形中所占的圆心角的度数?
(4)已知该校有760名学生,请你根据调查结果估计爱好足球和排球的学生共计多少人?
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【题目】在甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字0,1,2;乙袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2,0;现从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为x,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为y,确定点M坐标为(x,y).
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标;
(2)求点M(x,y)在函数y=﹣x+1的图象上的概率.
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【题目】天虹超市购进甲、乙两种水果,已知 1 千克甲种水果的进价比 1 千克乙种水果的进价多 4 元,购进 2
千克甲种水果与 3 千克乙种水果共需 28 元.
求甲种水果的进价为每千克多少元?
(2)经市场调查发现,甲种水果每天销售量 y(千克)与售价 m(元/千克)之间满足如图所示的函数关系,求 y
与 m 之间的函数关系;
(3)在(2)的条件下,为减少库存,每天甲种水果的销售量不能低于 16 千克,当甲种水果的售价定为多少元时,才能使每天销售甲种水果的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,在△ABC中,E为BC边上一点,以BE为直径的AR半圆D与AC相切于点F,且EF∥AD,AD交半圆D于点G.
(1)求证:AB是半圆D的切线;
(2)若EF=2,AD=5,求切线长AB.
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【题目】如图1,我们将相同的两块含30°角的直角三角板Rt△DEF与Rt△ABC叠合,使DE在AB上,DE过点C,已知AC=DE=6.
(1)将图1中的△DEF绕点D逆时针旋转(DF与AB不重合),使边DF、DE分别交AC、BC于点P、Q,如图2.
①求证:△CQD∽△APD;②连接PQ,设AP=x,求面积S△PCQ关于x的函数关系式;
(2)将图1中的△DEF向左平移(点A、D不重合),使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N设AM=t,如图3.
①判断△BEN是什么三角形?并用含t的代数式表示边BE和BN;②连接MN,求面积S△MCN关于t的函数关系式;
(3)在旋转△DEF的过程中,试探求AC上是否存在点P,使得S△PCQ等于平移所得S△MCN的最大值?说明你的理由.
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