Question

【题目】在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．

（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．

（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．

活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．

（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】【思考】是，理由见解析；【发现】；【探究】BD＝2OF，理由见解析；

【解析】

【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；

【发现】连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，则AF可求出；

【探究】如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证．

解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．

证明：如图，∵△ABC≌△DEF，

∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，

∴AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形；

【发现】

如图1，连接BE交AD于点O，

∵四边形ABDE为矩形，

∴OA＝OD＝OB＝OE，

设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），

∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，

在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，

∴，

解得：x＝，

∴AF＝cm．

【探究】BD＝2OF，

证明：如图2，延长OF交AE于点H，

∵四边形ABDE为矩形，

∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，

∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，

∴∠ABD+∠BAE＝180°，

∴AE∥BD，

∴∠OHE＝∠ODB，

∵EF平分∠OEH，

∴∠OEF＝∠HEF，

∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，

∴△EFO≌△EFH（ASA），

∴EO＝EH，FO＝FH，

∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，

∴△EOH≌△OBD（AAS），

∴BD＝OH＝2OF．