【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A,交x轴于点B(-3,0)和点C(1,0),顶点为点M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点E为x轴上一动点,若△AME的周长最小,请求出点E的坐标;
(3)点F为直线AB上一个动点,点P为抛物线上一个动点,若△BFP为等腰直角三角形,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1) ;(2)E(-,0);(3)点P的坐标为(2,-5)或(1,0).
【解析】
(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-1),然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式;
(2)作A关于x轴的对称点A′(0,-3),连接MA′交x轴于E,此时△AME的周长最小,求出直线MA'解析式即可求得E的坐标;
(3)如图2,先求直线AB的解析式为:y=x+3,根据解析式表示点F的坐标为(m,m+3),
分三种情况进行讨论:
①当∠PBF=90°时,由F1P⊥x轴,得P(m,-m-3),把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论;
②当∠BF3P=90°时,如图3,点P与C重合,
③当∠BPF4=90°时,如图3,点P与C重合,
从而得结论.
(1)当x=0时,y=3,即A(0,3),
设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-1),
把A(0,3)代入得:3=-3a,
a=-1,
∴y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3,
即抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3;
(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴M(-1,4),
如图1,作点A(0,3)关于x轴的对称点A'(0,-3),连接A'M交x轴于点E,则点E就是使得△AME的周长最小的点,
设直线A′M的解析式为:y=kx+b,
把A'(0,-3)和M(-1,4)代入得:
,
解得:
∴直线A'M的解析式为:y=-7x-3,
当y=0时,-7x-3=0,
x=-,
∴点E(-,0),
(3)如图2,易得直线AB的解析式为:y=x+3,
设点F的坐标为(m,m+3),
①当∠PBF=90°时,过点B作BP⊥AB,交抛物线于点P,此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个,即△BPF1和△BPF2,
∵OA=OB=3,
∴△AOB和△A'OB是等腰直角三角形,
∴∠F1BC=∠BF1P=45°,
∴F1P⊥x轴,
∴P(m,-m-3),
把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得:
-m-3=-m2-2m+3,
解得:m1=2,m2=-3(舍),
∴P(2,-5);
②当∠BF3P=90°时,如图3,
∵∠F3BP=45°,且∠F3BO=45°,
∴点P与C重合,
故P(1,0),
③当∠BPF4=90°时,如图3,
∵∠F4BP=45°,且∠F4BO=45°,
∴点P与C重合,
故P(1,0),
综上所述,点P的坐标为(2,-5)或(1,0).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】画出二次函数y=2x2+8x+6的图象.
(1)根据图象写出当y随x的增大而减小时x的范围;
(2)根据图象写出满足不等式2x2+8x+6<0的x的取值范围;
(3)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形ABCD的边长为6,点E是正方形内部一点,连接BE,CE,且∠ABE=∠BCE,点P是边AB上一动点,连接PD,PE,则PD+PE的最小值为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且握手1次.
(1)若参加聚会的人数为3,则共握手 次;若参加聚会的人数为5,则共握手 次;
(2)若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手 次;
(3)若参加聚会的人共握手28次,请求出参加聚会的人数.
(4)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题:若线段AB上共有m个点(不含端点A,B),线段总数为多少呢?请直接写出结论.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在“书香校园”活动中,某校为了解学生家庭藏书情况,随机抽取本校部分学生进行调查,并绘制成部分统计图表如下:
类别 | 家庭藏书m本 | 学生人数 |
A | 0≤m≤25 | 20 |
B | 26≤m≤100 | a |
C | 101≤m≤200 | 50 |
D | m≥201 | 66 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)该调查的样本容量为_____,a=_____;
(2)在扇形统计图中,“A”对应扇形的圆心角为_____°;
(3)若该校有2000名学生,请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AC=4,CE=2,求的长度.(结果保留π)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,E是的中点,AE与BC交于点F,∠C=2∠EAB.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知CD=4,CA=6,
①求CB的长;
②求DF的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数交轴于点、,交轴于点,在轴上有一点,连接.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点,求面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点,使为等腰三角形,若存在,请直接写出所有点的坐标,若不存在请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)如图,为正三角形,点为边上任意一点,以为边作正,连接,求的值;
(2)如图,为等腰直角三角形,,点为腰上任意一点,以为斜边作等腰直角,连接,求的值;
(3)如图,为任意等腰三角形,点为腰上任意一点,以为底边作等腰,使,并且BC=AC,连接,写出的值,并说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com