Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为_____，最小值为_____．

Answer 1

【答案】15 12

【解析】

设AE＝m，CF＝n，则m+n＝y，用m、n及x表示出△ABD及△CBD的面积，根据S△ABC＝S△ABD+S△CBD即可得到m+n关于x的反比例函数关系式．根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB＝13，BC＝14，所以当BD＝BC＝14时，x最大．从而根据反比例函数的性质求出y的最大值和最小值.

设BD＝x，AE+CF＝y，AE＝m，CF＝n，则m+n＝y，

∵由三角形面积公式，得，，

∴，

∴，即．

∵△ABC中AC边上的高为，

∴x的取值范围为．

∵m+n随x的增大而减小，

∴当时，y的最大值为15，当x＝14时，y的最小值为12．

故答案为：15，12．