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【题目】如图,已知抛物线经过点A-10),B40),C02)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是线段AB上的一个动点,设点P的坐标为(m0),过点Px轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M

1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;

2)在点P运动过程中,是否存在点Q,使得△BQM是直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;

3)连接AC,将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°,得到△A1O1C1,点AOC的对应点分别是点AO1C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标.

【答案】1y=-+x+2;(2)存在,Q32)或Q-10);(3)两个和谐点,A1的横坐标是1.

【解析】

1)把点A10)、B40)、C03)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;

2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q点的坐标.

3)(3)两个和谐点;AO=1OC=2,设A1xy),则C1x+2y-1),O1xy-1),

①当A1C1在抛物线上时,A1的横坐标是1

O1C1在抛物线上时,A1的横坐标是2

解:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c

将点A-10),B40),C02)代入解析式,

y=-+x+2

2)∵点C与点D关于x轴对称,

D0-2).

设直线BD的解析式为y=kx-2

∵将(40)代入得:4k-2=0

k=

∴直线BD的解析式为y=x-2

P点与A点重合时,△BQM是直角三角形,此时Q-10);

BQBD时,△BQM是直角三角形,

则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8

-2x+8=-+x+2,可求x=3x=4(舍)

x=3

Q32)或Q-10);

3)两个和谐点;

AO=1OC=2

A1xy),则C1x+2y-1),O1xy-1),

①当A1C1在抛物线上时,

A1的横坐标是1

O1C1在抛物线上时,

A1的横坐标是

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2)直接写出当x0时,不等式x+b的解集;

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(Ⅰ)根据题意,填写下表:

老年人数量(人)

5

10

20

甲旅行社收费(元)

300

乙旅行社收费)(元)

800

(Ⅱ)求关于x的函数关系式(不用写出自变量的取值范围)?

(Ⅲ)如果,选择哪家旅行社合算?

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