【题目】如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是线段AB上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在点P运动过程中,是否存在点Q,使得△BQM是直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°,得到△A1O1C1,点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标.
【答案】(1)y=-+x+2;(2)存在,Q(3,2)或Q(-1,0);(3)两个和谐点,A1的横坐标是1,.
【解析】
(1)把点A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;
(2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q点的坐标.
(3)(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A1(x,y),则C1(x+2,y-1),O1(x,y-1),
①当A1、C1在抛物线上时,A1的横坐标是1;
当O1、C1在抛物线上时,A1的横坐标是2;
解:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
将点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)代入解析式,
∴,
∴,
∴y=-+x+2;
(2)∵点C与点D关于x轴对称,
∴D(0,-2).
设直线BD的解析式为y=kx-2.
∵将(4,0)代入得:4k-2=0,
∴k=.
∴直线BD的解析式为y=x-2.
当P点与A点重合时,△BQM是直角三角形,此时Q(-1,0);
当BQ⊥BD时,△BQM是直角三角形,
则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8,
∴-2x+8=-+x+2,可求x=3或x=4(舍)
∴x=3;
∴Q(3,2)或Q(-1,0);
(3)两个和谐点;
AO=1,OC=2,
设A1(x,y),则C1(x+2,y-1),O1(x,y-1),
①当A1、C1在抛物线上时,
∴,
∴,
∴A1的横坐标是1;
当O1、C1在抛物线上时,
,
∴,
∴A1的横坐标是;
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【题目】已知:是等腰直角三角形,,将绕点顺时针方向旋转得到,记旋转角为,当时,作,垂足为,与交于点
(1)如图1,当时,作的平分线交于点.
①写出旋转角的度数;②求证:;
(2)如图2,在(1)的条件下,设是直线上的一个动点,连接,,若,求线段的最小值.(结果保留根号)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,函数的图象G与直线l:y=﹣x+7交于A(1,a),B两点.
(1)求k的值;
(2)记图象G在点A,B之间的部分与线段AB围成的区域(不含边界)为W.点P在区域W内,若点P的横纵坐标都为整数,直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,M为等腰△ABD的底AB的中点,过D作DC∥AB,连结BC:AB=8cm.DM=4cm,DC=1cm,动点P自A点出发,在AB上匀速运动,动点Q自点B出发,在折线BC﹣CD上匀速运动,速度均为1cm/s,当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动,设点P运动(s)时,△MPQ的面积为S(不能构成△MPQ的动点除外).
(1)点Q在BC上运动时,求t的取值范围;
(2)当点Q在CD上运动时,求t为何值时,△MPQ是等腰三角形;
(3)求S与t之间的函数关系式;当t为何值时,S有最大值?最大值是多少?
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【题目】如图直线y1=-x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点
(1)求k的值;
(2)直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;
(3)若点P在x轴上,连接AP,且AP把△ABC的面积分成1:2两部分,求此时点P的坐标.
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【题目】春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
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【题目】如果记y==f(x),并且f(1)表示当x=1时y的值.即f(1)==;f()表示当x=时y的值,f()==…,那么f(﹣1)+f(﹣2)+f(﹣)+f(﹣3)+f(﹣)+…+f(﹣2019)+f(﹣)=_____.
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【题目】某社区准备五一组织社区内老年人去到县参加采摘节,现有甲、乙两家旅行社表示对老年人优惠,甲旅行社的优惠方式为:在原来每人100元的基础上,每人按照原价的60%收取费用;乙旅行社的优惠方式为:在收取一个600元固定团费的基础上,再额外收取每人40元.设参加采摘节的老年人有x人,甲、乙两家旅行社实际收费为元、元.
(Ⅰ)根据题意,填写下表:
老年人数量(人) | 5 | 10 | 20 | |
甲旅行社收费(元) | 300 | |||
乙旅行社收费)(元) | 800 |
(Ⅱ)求、关于x的函数关系式(不用写出自变量的取值范围)?
(Ⅲ)如果,选择哪家旅行社合算?
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