【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=4,∠D=30°,点E是BC边的中点,F是射线BA上一动点,将△BEF沿直线EF折叠,得到△PEF,连接PC,当△PCE为等边三角形时,BF的长为_____.
【答案】3或6
【解析】
分两种情况:当P点在EC的上方和下方时,由等边三角形的性质与直角三角形的性质分别求出BF的值即可.
当点P在EC的上方时,如图1,
则EF⊥BP,BE=PE,
∴∠PBE=∠BPE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=30°,
∴∠ABC=∠D=30°,
∵△PCE是等边三角形,
∴∠PEC=60°,
∵∠PEC=∠PBE+∠BPE,
∴∠PBE=30°,
∴∠ABC=∠PBC=30°,
∴B、F、A、P在同一直线上,
∴BF=BEcos30°==3.
当点P在CE下方P′处时,如图2,连接BP′,
则EF′⊥BP′,BE=EP′,
∵△P′CE是等边三角形,
∴∠P′EC=60°,
∵∠P′EC=∠P′BE+∠BP′E,
∴∠P′BE=30°,
∴BQ=BEcos30°=2=3,
∠ABP′=60°,
∴BF′==6,
故答案为:3或6.
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【题目】如图,已知直线y=2x+2分别与x轴,y轴交于点A、B,已知点A1是点A关于y轴的对称点,作直线A1B,过点A1作x轴的垂线l1,交直线AB于点B1;点A2是点A关于直线l1的对称点,作直线A2B1,过点A2作x轴的垂线l2,交直线AB于B2;点A3是点A关于l2的对称点,作直线A3B2……继续这样操作下去,可作直线AnBn﹣1.(n为正整数,且n≥1)
(1)填空:
①A1(1,0),A2(3,0),A3( , ),An( , );
②B(0,2),B1(1,4),B2( , ),Bn﹣1( , );
(2)求线段AnBn﹣1的长.
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【题目】某校积极开展中学生社会实践活动,决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍,每名学生最多选择一个队伍,为了了解学生的选择意向,随机抽取A,B,C,D四个班,共200名学生进行调查.将调查得到的数据进行整理,绘制成如下统计图(不完整)
(1)求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数;
(2)求D班选择环境保护的学生人数,并补全折线统计图;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)
(3)若该校共有学生2500人,试估计该校选择文明宣传的学生人数.
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【题目】如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_____秒时,△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.
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【题目】某电脑公司准备每周(按120个工时计算)组装三种型号的电脑360台,组装这些电脑每台所需工时和每台产值如下表.
电脑型号 | ① | ② | ③ |
工时(个) | |||
产值(万元) | 0.4 | 0.3 | 0.2 |
(1)如果每周准备组装100台型号③电脑,那么每周应组装型号①、②电脑各几台?
(2)如果一周产值定为10万元,那么这周应组装型号①、②、③电脑各几台?
(3)若一周型号③电脑至少组装20台,一周产值记为w,试直接写出w的范围.
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【题目】“莓好河南,幸福家园”,2019年某省草莓旅游文化节期间,甲、乙两家草莓采摘园草莓品质相同,销售价格也相同,且推出了如下的优惠方案:
甲园 | 游客进园需购买20元/人的门票,采摘的草莓六折优惠 |
乙园 | 游客进园不需购买门票,采摘的草莓超过一定数量后,超过部分打折优惠 |
活动期间,小雪与爸爸妈妈决定选一个周末一同去采摘草莓,若设他们的草莓采摘量为x(千克)(出园时欲将自己采摘的草莓全部购买),在甲采摘园所需总费用为y1(元),在乙采摘园所需总费用为y2(元),图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系.
(1)求y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)请在图中画出y1与x之间大致的函数图象;
(3)若小雪和爸爸妈妈当天所采摘的草莓不少于10千克,则选择哪个草莓园更划算?请说明理由.
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【题目】校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载,某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于24米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.
(1)求AB的长(结果保留根号);
(2)已知本路段对校车限速为45千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时1.5秒,这辆校车是否超速?说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)
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【题目】在小水池旁有一盏路灯,已知支架AB的长是0.8m,A端到地面的距离AC是4m,支架AB与灯柱AC的夹角为65°.小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°,在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°(点C、E、D在同一直线上),求小水池的宽DE.(结果精确到0.1m)(sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan50°≈1.2)
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【题目】中华文明,源远流长:中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩x/分 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 20 | 0.10 |
70≤x<80 | 30 | b |
80≤x<90 | a | 0.30 |
90≤x≤100 | 80 | 0.40 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)a=______,b=______;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)这次比赛成绩的中位数会落在_____________分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?
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