Question

已知：△ABC是等边三角形．
（1）用直尺和圆规分别作△ABC的角平分线BE、CD，BE，CD交于点O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）过点C画射线CF⊥BC，垂足为C，CF交射线BE与点F．求证：△OCF是等边三角形；
（3）若AB=2，请直接写出△OCF的面积．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用直尺和圆规即可作出；
（2）根据等边三角形的每个角的度数是60°，以及三角形的内角和定理，证明∠F=∠FCO=60°即可证得；
（3）作OG⊥BC于点G，△OBC是等腰三角形，利用三角函数求得OC的长，则△OCF的面积即可求得．

解答：解：（1）

BE、CD就是所求；
（2）∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠FBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
同理，∠BCD=30°．
∵CF⊥BC，即∠BCF=90°，
∴∠F=∠FCO=60°，
∴△OCF是等边三角形；
（3）作OG⊥BC于点G．
∵∠FBC=∠DCB=30°，
∴OB=OC，
∴CG=

1

2

BC=

1

2

AB=1，
∴OC=

CG

cos∠OCG

=

1

cos30°

=

2 3

3

．
则S_等边△OCF=

3 ( 2 3 3 )2

4

=

3

3

．

点评：本题考查了等边三角形的性质以及判定，和尺规作图，正确求得OC的长度是本题的关键．