Question

11．已知矩形ABCD，AB=8，BC=4，将它绕着点B按顺时针方向旋转α度（0＜α＜8）得到矩形A₁B₁C₁D₁．这两边所在的直线分别与CD边所在的直线相交于点P，Q，当DP：DQ=1：2时，DP的长为5．

Answer 1

分析 作PH⊥C₁D₁，如图，根据旋转的性质得BC=BC₁=4，由四边形BPHC₁为矩形得到PH=BC₁，则BC=PH，于是可根据“AAS”证明△BPC≌△PQH，得到PQ=PB，由于DP：DQ=1：2，所以DP=BP=PQ，设DP=x，则BP=x，PC=DC-DP=8-x，然后在Rt△BCP中根据勾股定理得到（8-x）²+4²=x²，再解方程求出x即可．

解答 解：作PH⊥C₁D₁，如图，
∵矩形ABCD绕着点B按顺时针方向旋转得到矩形A₁B₁C₁D₁，
∴BC=BC₁=4，
易得四边形BPHC₁为矩形，
∴PH=BC₁，
∴BC=PH，
∵C₁D₁∥A₁B，
∴∠BPC=∠PQH，
在△BPC和△PQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCP=∠PHQ}\\{∠BPC=∠PQH}\\{BC=PH}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△PQH，
∴PQ=PB，
∵DP：DQ=1：2，
∴DP=BP=PQ，
设DP=x，则BP=x，PC=DC-DP=8-x，
在Rt△BCP中，（8-x）²+4²=x²，解得x=5，
即DP的长为5．
故答案为5．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明PD=PB．