Question

19．如图是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG-GH-HE-EF表示楼梯，CH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边相切，且AO∥GH．
（1）如图①，若点H在线段OB上，则$\frac{BH}{OH}$的值是$\sqrt{3}$．
（2）如果一级楼梯的高度$HE=（{8\sqrt{3}+2}）cm$，点H到线段OB的距离d满足条件d≤3cm，那么小轮子半径r的取值范围是（11-3$\sqrt{3}$）cm≤r≤8cm．

Answer 1

分析 （1）如图①，P为⊙B的切点，连接BP并延长，作OL⊥BP于点L，交GH于点M，求出ML，OM，根据$\frac{BH}{OH}$=$\frac{ML}{OM}$求解；
（2）如图②，作HD⊥OB，P为切点，连接BP，PH的延长线交BD延长线于点L，由△LDH∽△LPB，得出$\frac{DL}{PL}$=$\frac{DH}{PB}$，再根据30°的直角三角形得出线段的关系，得到DH和r的关系式，根据0≤d≤3的限制条件，列不等式组求范围．

解答 解：（1）如图①，P为⊙B的切点，连接BP并延长，作OL⊥BP于点L，交GH于点M，
∴∠BPH=∠BLO=90°，
∵AO∥GH，
∴BL∥AO∥GH，
∵∠AOB=120°，
∴∠OBL=60°，
在RT△BPH中，HP=$\sqrt{3}$BP=$\sqrt{3}$r，
∴ML=HP=$\sqrt{3}$r，
OM=r，
∵BL∥GH，
∴$\frac{BH}{OH}$=$\frac{ML}{OM}$=$\frac{\sqrt{3}r}{r}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

（2）如图②，作HD⊥OB，P为切点，连接BP，PH的延长线交BD延长线于点L，
∴∠LDH=∠LPB=90°，
∴△LDH∽△LPB，
∴$\frac{DL}{PL}$=$\frac{DH}{PB}$，
∵AO∥PB，∠AOD=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BLP=30°，
∴DL=$\sqrt{3}$DH，LH=2DH，
∵HE=（8$\sqrt{3}$+2）cm
∴HP=8$\sqrt{3}$+2-r，
PL=HP+LH=8$\sqrt{3}$+2-r+2DH，
∴$\frac{\sqrt{3}DH}{2DH+8\sqrt{3}+2-r}$=$\frac{DH}{r}$，解得DH=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$r-4$\sqrt{3}$-1，
∵0cm≤DH≤3cm，
∴0≤$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$r-4$\sqrt{3}$-1≤3，
解得：（11-3$\sqrt{3}$）cm≤r≤8cm．
故答案为：（11-3$\sqrt{3}$）cm≤r≤8cm．

点评 本题主要考查了圆的综合应用，解决本题的关键是作出辅助线，运用含30°的直角三角形的性质得出线段的关系，同时涉及切线的性质，平行线分线段成比例的性质的知识点，综合性较强，难度较大．