Question

【题目】若关于x的一元二次方程3x2＋3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根x1、x2满足关系式：x1(x1＋1)＋x2(x2＋1)＝(x1＋1)(x2＋1)．判断(a＋b)2≤4是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例．

Answer 1

【答案】正确，证明见解析．

【解析】

先把原式进行化简，再根据根与系数的关系得到，由一元二次方程跟的判别式大于等于0即可得出结论．

解：(a＋b)2≤4是正确，理由如下：

∵　关于x的一元二次方程3x2＋3(a＋b)x＋4ab＝0有两个实数根，

∴Δ≥0，即［3(a＋b)2］-4×3×4ab≥0，

即：3(a＋b)2-16ab≥0 ①

　x1、x2为方程的两个实数根，由根与系数的关系得到：

x1＋x2=，x1·x2＝，

∵　x1(x1＋1)＋x2(x2＋1)＝(x1＋1)(x2＋1)，

∴　x12＋x1＋x22＋x2＝x1x2＋x1＋x2＋1，

x12＋x22＝x1x2＋1，

(x1＋x2)2-3x1x2＝1．

∴，

∴，

∴ ②

把②代入①，得

，

∴．