Question

20．二次函数y=$\sqrt{6}$x²的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=$\sqrt{6}$x²的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=BD，设BD=t，则OD=t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得$\sqrt{6}$t²=$\sqrt{3}$t，进而可求出BD，OD的长，然后根据菱形性质得BC=2BD，OA=2OD，再利用菱形面积公式计算即可．

解答 解：连结BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA=120°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=$\sqrt{3}$BD，
设BD=t，则OD=$\sqrt{3}$t，
∴B（t，$\sqrt{3}$t），
把B（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\sqrt{6}$x²，得$\sqrt{6}$t²=$\sqrt{3}$t，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴BC=2BD=$\sqrt{2}$，OA=2OD=$\sqrt{6}$，
∴菱形OBAC的面积=$\frac{1}{2}$×AO•BC=$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积=$\frac{1}{2}$ab（a、b是两条对角线的长度）．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．