Question

【题目】如图，一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于另一点B抛物线顶点为E，连接AE．

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；

（2）点P是线段AE上的一动点，过点P作PF平行于y轴交AC于点B连接EF，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x+3，顶点E（-1，4）；（2）当x=-2时，S△PEF有最大值为，点P（-2，2）；（3）点N坐标为：N（-3，4）或（-1，4）或（1，-4）或（3，-4）．

【解析】

（1）一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点，则点A、C的坐标为（-3，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）S△PEF=PF×（xE-x）=×（2x+6-x-3）（-1-x）=-（x+3）（x+1），即可求解；
（3）分点M（m，0）在x轴上、点M在y轴上两种情况分别求解．

（1）一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点，则点A、C的坐标为（-3，0）、（0，3），

将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y=x2-2x+3，

顶点E（-1，4）；

（2）将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AE的表达式为：y=2x+6，

设点P（x，2x+6），则点F（x，x+3），

S△PEF=PF×（xE-x）=×（2x+6-x-3）（-1-x）=-（x+3）（x+1），

当x=-2时，S△PEF有最大值为，

此时点P（-2，2）；

（3）点A、E的坐标分别为（-3，0）、（-1，4），AE2=20，

①当点M（m，0）在x轴上时，

设点N（s，t），

则AE=MN，且AE中点坐标为MN中点坐标，

即：，解得：，

故点N（-3，4）或（-1，4）；

②当点M在y轴上时，

同理可得：点N（1，-4）或（3，-4）；

综上，点N坐标为：N（-3，4）或（-1，4）或（1，-4）或（3，-4）．