如图.矩形ABCD中.AB=4.AD=8.点E.F分别在线段BC.CD上.将△CEF沿EF翻折.点C的落点为M(1)如图1.当 CE=5.M点落在线段AD上时.求MD的长(2)如图2.若点F是CD的中点.点E在线段BC上运动.将△CEF沿EF折叠.①连接BM.△BME是否可以是直角三角形?如果可以.求此时CE的长.如果不可以.说明理由②连接MD.如图3.求四边形ABMD的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将△CEF沿EF翻折，点C的落点为M
（1）如图1，当 CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长
（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，
①连接BM，△BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果不可以，说明理由
②连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长

分析（1）如图1，作EN⊥AD于点N，由矩形的性质就可以得出EN=4，AN=3，由勾股定理就可以求出MN的值，进而求出结论；
（2）①如图2，当∠BME=90°时，由∠EMF=90°，就可以得出B、M、F在同一直线上，由勾股定理就可以求出BF，求出BM，在Rt△BME中由勾股定理就可以求出结论；如图3，当∠BEM=90°时，∠MEC=90°就可以得出四边形ECFM是正方形，直接得出CE的值；
②由四边形ABMD的周长的最小就要BM+MD最小．得出B、M、D在同一直线上，就有点M在BD上，连结MC，就可以得出EF垂直平分MC交EF于点G，就有FG是△MDC的中位线，得出GF∥BD，就有BE=EC进而得出结论．

解答解：（1）如图1，作EN⊥AD于点N，
∴∠ANE=∠ENM=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，
∴∠A=∠B=∠ANE=90°，
∴AB=NE=4，AN=BE．
∵EC=5，
∴BE=3，
∴AN=3．
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，
∴EC=EM=5．
在Rt△EMN中，由勾股定理，得
MN=3，
∴MD=8-3-3=2．
答：MD的长为2；
（2）①如图2，当∠BME=90°时，
∵∠EMF=90°，
∴∠BMF=180°，
∴B、M、F在同一直线上．
∵F是BC的中点，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=2．
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，
∴MF=CF=2，EC=EM．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF=2$\sqrt{17}$．
∴BM=2$\sqrt{17}$-2．
设EC=EM=x，则BE=8-x，在Rt△BME中，由勾股定理，得
（8-x）²-x²=（2$\sqrt{17}$-2）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$．
∴CE=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$；
如图3，当∠BEM=90°时，
∴∠MEC=90°
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，
∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，
∴四边形ECFM是正方形，
∴MF=CE=2．
∴CE=2或$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$；
②如图4，∵四边形ABMD的周长最小，
∴BM+MD最小，
∴B、M、D在同一直线上，
∴点M在BD上．
连结MC，
∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，
∴△EFC≌△EFM，
∴EC=EM，FC=FM．
∴EF垂直平分MC，
∴MG=CG，
∴GF是△CDM的中位线，
∴FG∥BD，
∴BE=CE．
∵BC=8，
∴CE=4．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD=4$\sqrt{5}$．
∴四边形ABMD的周长的最小值为：4$\sqrt{5}$+4+8=4$\sqrt{5}$+12．
答：四边形ABMD的周长的最小值为（4$\sqrt{5}$+12），此时CE的长为4．

点评本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，正方形的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用勾股定理求解是关键．

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