Question

【题目】如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．

（1）求证：AE与⊙O相切于点A；

（2）若AE∥BC，BC＝8，AB＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

（1）连接OA，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和已知，求出∠DAO＝∠BAE，∠DAB＝90°，求出OAE＝90，根据切线的判定得出即可；

（2）根据垂径定理求出BF，根据勾股定理求出AF，再根据勾股定理求出OB即可．

（1）连接OA交BC于点F，

∵OA＝OD，

∴∠D＝∠DAO，

∵由圆周角定理得：∠D＝∠C，

∴∠C＝∠DAO，

又∵∠C＝∠BAE，

∴∠DAO＝∠BAE，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠DAB＝∠DAO+∠OAB＝90°，

∴∠OAB+∠BAE＝90°，即OA⊥AE，

∵OA是半径，

∴AE与⊙O相切于点A；

（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，

∴OA⊥BC，

∴FB＝BC＝×8＝4，

∴在Rt△ABF中，AF＝ ＝＝2，

∵在Rt△OFB中，OB2＝BF2+OF2，

∴OB2＝42+（0B﹣2）2，

∴OB＝5，

∴⊙O的半径为5．