Question

（1）如图①，在△ABC中，AB=CD，∠BAD=∠BDA，AE是BD边的中线．探究AC与AE的数量关系并证明．

（2）如图②，在△ABC中，AB=k•AD，∠BAD=∠BDA，AE是BD边的中线，且∠EAD=∠C．探究AC与AE的数量关系并证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作AC边上的中线，利用三角形的中位线的性质，得出相应的边和角的关系，进一步证出△ADF≌△ADE，得出结论即可；
（2）易得△ACE∽△DAE，则可得

AC

AE

=

2AD

2ED

=

2AD

BD

=

2AD

AB

=

2AD

kAD

=

2

k

．

解答：（1）答：AC=2AE．
证明：在△ACD中，作AC边上的中线DF，
∵∠BAD=∠BDA，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AB=BD=CD，于是D为BC边上的中点，
∴DF为△ABC的中位线，DF=

1

2

AB=

1

2

BD，∠FDC=∠B，
∵AE是△ABD的中线，
∴ED=DF，
由于∠BDA+∠ADF+∠FDC=180°，
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∠FDC=∠B，∠BAD=∠BDA，
∴∠ADF=∠BDA，
在△ADF和△ADE中，

AD=AD ∠ADE=∠ADE ED=FD

，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE=AF，
∴AC=2AE．

（2）解：∵∠EAD=∠C，∠AED=∠CEA，
∴△ACE∽△DAE，
∴

AC

AD

=

AE

ED

，
即

AC

AE

=

AD

ED

，
∴

AC

AE

=

2AD

2ED

=

2AD

BD

=

2AD

AB

=

2AD

kAD

=

2

k

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．